单元评估检测（十）
（第十一章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是
( )
(A)9 (B)14 (C)15 (D)21
2.(2012·衡阳模拟)在国庆60周年阅兵仪式中，从编号为1，2，3，…，18的18名标兵中任选3个，则选出的标兵的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
3.在的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有( )
（A）3项 （B）4项 （C）5项 （D）6项
4.(2012·益阳模拟)某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有( )
(A)15种 (B)21种
(C)30种 (D)36种
5．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量=(m，n)与向量=(-1,1)的夹角θ>90°的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
6．在区间［－1,1］上随机取一个数x，则的值介于-与之间的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
7.（2011·浙江高考）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
8．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_________.
10．（2012·济南模拟）已知等腰三角形ABC的顶角A=120°，在底边BC上等可能地取点M，则三角形ABM恰好为钝角三角形的概率等于_________.
11．（易错题）在区间［0，1］内任取两个数，则这两个数的平方和也在［0，1］内的概率是__________.
12.(2012·湘潭模拟)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_________.
13．某射击爱好者一次击中目标的概率为p，在某次射击训练中向目标射击3次，记X为击中目标的次数，且D（X）=，则p=_______.
14．某县农民的月均收入ξ服从正态分布，即ξ～N(1 000,402)，则此县农民月均收入在1 000元到1 080元间人数的百分比为_______．
15.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝_______.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(12分)(2012·岳阳模拟)汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，如图，三个汉字可以看成是轴对称图形.
(1)请再写出2个可看成是轴对称图形的汉字；
(2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜，否则小慧获胜，你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析，并写出构成的汉字进行说明.
17.（12分）(预测题)某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.
(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；
(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；
(3)记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望.
男
女
甲科室
6
4
乙科室
3
2
18.（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过复审专家评审的概率为0.3.各专家独立评审．
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
19．（13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495］，（495，500］，…，（510，515］.由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为质量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；
（3）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的质量超过505克的概率.
20.（13分）（易错题）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2,x-y),记ξ=|x-2|+|y-x|.
(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.
21．（13分）（2011·陕西高考）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望.
答案解析
1．【解析】选B.当x＝2时，x≠y，y≠1,点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，x≠1,y≠1且y≠2，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.
2．【解析】选B.任选3人有＝816种选法，3人编号能组成以3为公差的等差数列，则编号最大的一组的最小编号为12，∴共有12组，P＝.
3. 【解析】选C.故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
4．【解析】选B.由题意知本题分两类办法完成.
第一类从6个工厂中选一个工厂抽调3名工程技术人员，其他5个工厂各抽1人，有种方法；
第二类从6个工厂中选两个工厂各抽调2名，其他4个工厂各抽1人，有种方法，8个名额的分配方案共有+＝21种.
5．【解析】选A.∵=(m，n), =(－1,1),若夹角θ>90°,则·＝－m＋n<0，∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36（个），符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝
15（个）．
∴P＝＝.
6．【解析】选D.∵－1≤x≤1，∴.
由，得，
即－≤x≤1，故所求事件的概率为.
7.【解题指南】先求出“3个球均为红球”的概率，再利用对立事件的概率公式求解.
【解析】选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球共有10个基本事件；“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件为“3个球均为红球”，有1个基本事件，所以“所取的3个球中至少有1个白球”的概率是.
8．【解析】选C.由，即，故k＋(k＋1)＝5，即k＝2.
9．【解析】种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)，∴E（ξ）＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X的期望为2E（ξ）＝200.
答案：200
10．【解析】如图，在底边BC上取点D，使得AD⊥BC,再在底边BC上取点E，使得AB⊥AE,则当点M取在线段BD或线段EC上时，三角形ABM是钝角三角形，若设AB=AC=a，由余弦定理可求得BC=a,而BD=，EC=AE=,所以三角形ABM恰好为钝角三角形的概率为.
答案：
11．【解析】设在［0,1］内取的两个数为a,b,则其对应的区域为如图所示的正方形区域OABC，若两数的平方和在［0，1］内，则a2+b2≤1，其对应的区域为图中的阴影部分，由几何概型知所求概率P=.
答案：
12.【解析】第5项二项式系数为且中只有最大，故n=8.Tr+1=8-r·x8-r·(-1)r· =(-1)r·()8-r·,令8-r=0,得r=6,所以常数项是=7.
答案：7
13．【解析】由题意X～B(3,p).
∴D(X)=3p(1-p)=.
即(2p-1)2=0,∴p=.
答案：
14.【解析】P(1 000<ξ≤1 080)＝P(920<ξ≤1 080)＝P(1 000－80<ξ≤
1 000＋80) ＝×0.954 4＝0.477 2.
答案：47.72%
15.【解题指南】先由P(X≥1)＝利用二项分布及对立事件的概率公式求出p的值，再计算P(Y≥1).
【解析】∵X～B(2，p)，
∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝.又Y～B(3，p)，
∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－ (1－p)3＝.
答案：
16.【解析】(1)如：田、日等；
(2)这个游戏对小慧有利.
每次游戏时，所有可能出现的结果如下(列表)：
土
口
木
土
(土，土)
(土，口)
(土，木)
口
(口，土)
(口，口)
(口，木)
木
(木，土)
(木，口)
(木，木)
总共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”，所以小敏获胜的概率为，小慧获胜的概率为.所以这个游戏对小慧有利.
17．【解析】（1）从甲科室应抽取的人数为3×=2,从乙科室应抽取的人数为3×=1;
(2)从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率 (或P=）.
（3）ξ的可能取值为0,1,2,3,
P（ξ=0）=.
P(ξ=1)=.
P(ξ=3)=,
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)= (或
P（ξ=2）=，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E（ξ）=0×+1×+2×+3×=.
18.【解析】(1)记A表示事件：稿件恰能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用．
则D＝A＋BC，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，
P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3，
P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝
P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.
即投到该杂志的1篇稿件被录用的概率为0.40.
(2)记A0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；
A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；
A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用．
P(A0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，
P(A1)＝×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，
P()＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)
＝0.129 6＋0.345 6＝0.475 2，
P(A2)＝1－P()＝1－0.475 2＝0.524 8.
即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率为0.524 8.
【方法技巧】较复杂事件的概率的求法
（1）求某些较复杂的事件的概率，通常有两种方法：
一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为复杂时，第二种方法常可使概率的计算得到简化.
（2）如果采用第一种方法，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏，如果采用第二种方法，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.
（3）一般此类问题均可用随机事件的概率求法来探求，但利用互斥事件和对立事件来处理往往可使问题得以简化.
（4）通过对较复杂事件概率的探求，可使我们充分体会到多种方法解决问题的思维方式，从而能提高我们综合应用知识来解决问题的能力.
19．【解析】（1）质量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=12（件）.
（2）ξ的所有可能取值为0,1,2
P(ξ=0)=,P(ξ=1)= ==，
P(ξ=2)=,
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
（3）由（1）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的质量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其质量超过505克的概率为0.3，令η为任取的5件产品中质量超过505克的产品数，则η～B(5,0.3)，故所求的概率为P(η=2）=.
【方法技巧】较复杂事件的概率的求法
（1）求某些较复杂的事件的概率，通常有两种方法：
一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为复杂时，第二种方法常可使概率的计算得到简化.
（2）如果采用第一种方法，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏，如果采用第二种方法，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.
（3）一般地此类问题均可用随机事件的概率求法来探求，但利用互斥事件和对立事件来处理往往可使问题得以简化.
（4）通过对较复杂事件概率的探求，充分体会多种方法解决问题的思维方式，从而提高综合应用知识解决问题的能力.
20.【解析】(1)∵x,y可能的取值为1,2,3,
∴|x-2|≤1,|y-x|≤2,
∴ξ≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时，ξ=3.
因此，随机变量ξ的最大值为3.
∵有放回抽两张卡片的所有情况有9种，
故P（ξ=3）=，即事件“ξ取得最大值”的概率是.
（2）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3.
因为当ξ=0时，只有x=2,y=2这一种情况，
所以P（ξ=0）=.
因为当ξ=1时，有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3，共4种情况,P(ξ=1)= ;
因为当ξ=2时，有x=1,y=2或x=3，y=2两种情况.P（ξ=2）=；
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
因此随机变量ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×=.
21．【解题指南】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率，再比较概率大小；
（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可求出数学期望．
【解析】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率，则有：P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5；
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择路径L1；
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9；
∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择路径L2．
（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P(A)=0.6，P(B)=0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0，1，2，
∴P(X=0)=P()=P()·P()=0.4×0.1=0.04，
P(X=1)=P(B+A )=P()P(B)+P(A)P()
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42，
P(X=2)=P(AB)=P(A)·P(B)
=0.6×0.9=0.54.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.
【变式备选】
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,a,a(0
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