单元评估检测(十一)
（第十一章）
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.一副扑克牌除去大、小王两张扑克后还剩52张，从中任意摸一张，摸到红心的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2012·宝鸡模拟)从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
(A)“至少有一个黑球”与“都是黑球”
(B)“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
(C)“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
(D)“至少有一个黑球”与“都是红球”
3.(预测题)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为( )
(A)0.99 (B)0.98 (C)0.97 (D)0.96
4.从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
5.连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量a＝(m，n)与向量b＝(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
6.(2012·西安模拟)欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )
(A) (B)
(C) (D)
7. (2011·浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
8.现有分别写有数字1,2,3,4,5的5张白色卡片、5张黄色卡片、5张红色卡片.每次试验抽一张卡片，并定义随机变量x，y如下：若是白色，则x＝0；若是黄色，则x＝1；若是红色，则x＝2.若卡片数字是n(n＝1,2,3,4,5)，则y＝n，则P(x＋y＝3)的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
9.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
10.已知等腰三角形ABC的顶角A＝120°，在底边BC上等可能地取点M，则三角形ABM恰好为钝角三角形的概率等于( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(易错题)已知函数f(x)＝x3－3x，当x在区间[－1,3]上任意取值时，函数值不小于0又不大于2的概率是 .
12.设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为 .
13.(2011·广东高考)已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为 .
14.随意安排甲、乙、丙3人在3天的节日中值班，每人值班一天.记事件A＝{甲在乙之前值班}，则P(A)为 .
15.图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是 .
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知集合P＝{1,2,4}，Q＝{1,3,4,5,7}，若a∈P，b∈Q.
(1)列出所有的实数对(a，b)；
(2)设事件A：函数f(x)＝()x为增函数，求事件A的概率.
17.(12分)(2011·江西高考)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率.
18. (12分)(2012·新余模拟)数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
(1)得50分的概率；
(2)得多少分的可能性最大？
19.(12分)袋子中有质地、大小完全相同的4个球，编号分别为1,2,3,4.甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，若两个编号的和为奇数算甲胜，否则算乙胜.记基本事件为(x，y)，其中x，y分别为甲、乙摸到的球的编号.
(1)列举出所有的基本事件，并求甲胜且编号的和为5的事件发生的概率；
(2)比较甲胜的概率与乙胜的概率，并说明这种游戏规则是否公平.(无详细解答过程，不给分)
(3)如果请你猜这两球的号码之和，猜中有奖.猜什么数获奖的可能性最大？说明理由.
20.(13分)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
21.(14分)(2011·福建高考)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
答案解析
1.【解析】选B.所有基本事件的总数为52，事件“摸到一张红心”包含的基本事件数为13，则摸到红心的概率为＝.
2.【解析】选C.A中两事件不互斥，而D中两事件互斥且对立，B中两事件不互斥.
3.【解析】选D.记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}.事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件.所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
4.【解析】选A.由题意知：k有3种可能，b有3种可能，共有9种可能.所求事件应满足k<0，b>0，共2种可能，可得结果.
5.【解析】选A.∵a＝(m，n)，b＝(－1,1)，若夹角θ>90°，则a·b＝－m＋n<0，∴m>n.基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个).
∴P＝＝.
6.【解析】选D.此问题是几何概型，所求概率P＝＝.
7.【解题指南】先求出“3个球均为红球”的概率，再利用对立事件的概率公式求解.
【解析】选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球共有10个基本事件；“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件为“3个球均为红球”，有1个基本事件，所以“所取的3个球中至少有1个白球”的概率是1－＝ .
8.【解析】选B.满足x＋y＝3的数对(x，y)有三种(0,3)，(1,2)，(2,1).而(0,3)表示取到一张写有数字3的白色卡片，此时概率P1＝.同理，数对(1,2)对应的概率为P2＝，数对(2,1)对应的概率为P3＝.
∴P(x＋y＝3)＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝＝.
9.【解析】选C.∵(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它为实数的等价条件是m2＝n2，又m，n均为正整数，∴m＝n.故问题事件所含的基本事件有(1,1)，(2, 2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六个，所有的基本事件有36个，所以所求概率P＝＝.
10.【解析】选D.如图，在底边BC上取点D，使得AD⊥BC，再在底边BC上取点E，使得AB⊥AE，则当点M取在线段BD或线段EC上时，三角形ABM是钝角三角形，若设AB＝AC＝a，由余弦定理可求得BC＝a，而BD＝a，EC＝AE＝a，所以三角形ABM恰好为钝角三角形的概率为＝.
11.【解题指南】作出函数f(x)＝x3－3x的图像，结合函数图像和函数的单调性，找出符合题意的区域.
【解析】函数f(x)＝x3－3x的两个极值点是－1、1，三个零点是±、0，结合函数图像和函数的单调性可以知道，当x在区间[－1,0]，[，2]上取值时符合要求，故所求的概率是＝.
答案：
12.【解析】由方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝a2－8>0，故a＝3,4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有P＝＝.
答案：
13.【解析】由题设知：区域D是以原点为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图所示，故所求概率为.
答案：
14.【解析】所有的基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)共6个，
事件A有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(丙，甲，乙)共3个基本事件，
∴P(A)＝＝.
答案：
15.【解题指南】设长方体的高为h，用h表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积，及平面展开图的面积，再由几何概型的概率公式构造含有h的方程，求出h后再求解体积.
【解析】设长方体的高为h，则图(2)中虚线围成的矩形的长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h；由几何概型的概率公式知＝，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.
答案：3
16.【解析】(1)实数对(a，b)有(1,1)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,7)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,7)，(4,1)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,7)共15种情况；
(2)函数f(x)＝()x为增函数，则>1，使>1的实数对(a，b)有(1,3)，(1,4)(1,5)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,7)，(4,5)，(4,7)共10种情况，所以事件A的概率为P(A)＝＝.
17.【解题指南】首先将所有情况一一列举出来，共有10种情况，结合题意可得此人被评为优秀及被评为良好及以上的概率.
【解析】将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝，
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
18.【解析】(1)得分为50分，10道题必须全做对.
在其余的四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为.
所以得分为50分的概率为P＝···＝.
(2)依题意，该考生的可能得分为30,35,40,45,50，
得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率P1＝···＝＝.
同样可以求得得分为35分的概率为：
P2＝···＋···＋···＋···＝.
同理可得：
得分为40分的概率为P3＝，
得分为45分的概率为P4＝，
得分为50分的概率为P5＝，
所以得35分或得40分的可能性最大.
【方法技巧】较复杂事件的概率的求法
(1)求某些较复杂的事件的概率，通常有两种方法：
一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为复杂时，第二种方法常可使概率的计算得到简化.
(2)如果采用第一种方法，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏，如果采用第二种方法，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.
(3)一般此类问题均可用随机事件的概率求法来探求，但利用互斥事件和对立事件来处理往往可使问题得以简化.
(4)通过对较复杂事件概率的探求，可使我们充分体会到多种方法解决问题的思维方式，从而能提高我们综合应用知识来解决问题的能力.
19.【解析】(1)共有16个等可能事件，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).
设甲胜且两数字之和为5为事件A，则事件A包含(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4个基本事件.
∴P(A)＝＝.
(2)这种游戏公平.
设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜包含(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)共8个基本事件，∴甲胜的概率P(B)＝＝.
从而乙胜的概率P(C)＝1－P(B)＝，
∴P(B)＝P(C)，故这种游戏公平.
(3)记“所摸出的两球号码之和为i”为事件Ai(i＝2,3,4,5,6,7,8).
由(1)中可知事件A2的基本结果为1种，事件A3的基本结果为2种，事件A4的基本结果为3种，事件A5的基本结果为4种，事件A6的基本结果为3种，事件A7的基本结果为2种，事件A8的基本结果为1种，所以摸出的两球号码之和为5的概率最大.
答：猜5获奖的可能性最大.
20.【解析】设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”.
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共12个：
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2).
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)所有的基本事件构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}.
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}.
所以所求的概率为＝.
21.【解题指南】(1)由等级系数为4和5的件数可求得频率b，c的值，再由频率和为1求得a的值；
(2)属于求古典概型的概率问题，用列举法可求.
【解析】(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，
所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.
从而a＝0.35－b－c＝0.1，
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能情况为：
(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2).
设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个.又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝＝0.4.
【变式备选】某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日 期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
(1)求这5天发芽数的中位数；
(2)求这5天的平均发芽率；
(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m，后面一天发芽种子数为n，用(m，n)的形式列出所有基本事件，并求满足“”的概率.
【解析】(1)因为16<23<25<26<30，
所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
×100%＝24%.
(3)基本事件：
(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16).
基本事件总数为10.
记“ ”为事件A，
则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，
所以P(A)＝，故事件满足“”的概率为.
【点此下载】