单元评估检测（四）
（第四章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若平面向量a、b共线，则下列结论中正确的是( )
(A)a、b方向相同
(B)a、b两向量中至少有一个为零向量
(C)存在λ∈R，使b＝λa
(D)存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0
2.(2012·宿州模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，n)，若|a－b|＝a·b，则n
＝( )
(A)－3 (B)－1 (C)0 (D)1
3.(2012·株洲模拟)已知a＋b＋c＝0，且a与c的夹角为60°，|b|＝|a|，则cos〈a，b〉等于( )
(A) (B) (C)－ (D)－
4.(2012·西安模拟)已知复数z满足z＝，则复数z的实部与虚部之和
为( )
(A)－1 (B)7 (C)7i (D)－7i
5.(易错题)已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，a、b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )
(A)(－∞，－2)∪(－2，) (B)[，＋∞)
(C)(－2，)∪(，＋∞) (D)(－∞，)
6.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于( )
(A)2－ (B)－＋2
(C)－ (D)－＋
7.若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是( )
(A)等腰直角三角形 (B)非等腰直角三角形
(C)等边三角形 (D)钝角三角形
8.(预测题)已知点G是△ABC的重心，若A＝120°，·＝－2，则||的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
9.已知a，b是不共线的向量，＝λ a＋b，＝a＋μ b(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线的充要条件为( )
(A)λ＋μ＝2 (B)λ－μ＝1
(C)λμ＝－1 (D)λμ＝1
10.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝x a＋y b，则(x，y)为( )
(A)(，) (B)(，)
(C)(，) (D)(，)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2012·淮南模拟)已知a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是 .
12.已知复数z＝，是z的共轭复数，则的模等于 .
13.(2012·蚌埠模拟)|z＋3＋4i|≤2，则|z|的最大值为 .
14.(2011·广东高考改编)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4).若λ为实数，(a＋λ b)∥c，则λ＝ .
15.已知a，b均为单位向量，且它们的夹角为60°，当|a－λ b|(λ∈R)取最小值时，λ＝ .
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)
16.(12分)设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内的对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R).
试求a的取值范围.
17.(12分)(2012·衡阳模拟)如图，在△ABC中，·＝0，||＝8，||＝6，L为线段BC的垂直平分线，L与BC交于点D，E为L上异于D的任意一点，
(1)求·的值.
(2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由.
18.(12分)(2012·商洛模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.
(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；
(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2.
19.(12分)(2012·咸阳模拟)已知f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx，
－sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，＝3，求边长b和c的值(b>c).
20.(13分)已知点P(－3,0)， 点A在y轴上， 点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程.
21.(14分)已知O为坐标原点，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，点P满足＝.
(1)记函数f(α)＝·，α∈(－，)，讨论函数f(α)的单调性；
(2)若O，P，C三点共线，求|＋|的值.
答案解析
1.【解析】选D.因为共线的两个向量的方向也可能相反，也可能都为非零向量，所以A、B不正确，若a＝0，b≠0，此时a∥b，但不存在λ∈R，使b＝λa，所以C不正确，故选D.
2.【解析】选C.a·b＝1＋n，|a－b|＝，解方程＝1＋n，得n＝0.
3.【解析】选D.因为a＋b＋c＝0，所以a，b，c的模构成一个三角形，且|b|所对的角为120°，设|a|所对的角为α，由正弦定理可得＝，解得α＝30°，所以a与b的夹角为150°，所以cos〈a，b〉＝cos150°＝－.
4.【解析】选A.∵z＝＝＝＝3－4i.
∴复数z的实部与虚部之和为3＋(－4)＝－1.
5.【解题指南】由θ为锐角，可得0＜cosθ＜1，进而可求出λ的取值范围.
【解析】选A.∵|a|＝，|b|＝，a·b＝1－2λ，
∴cosθ＝，
又∵θ为锐角，∴0＜cosθ＜1，
解得λ＜－2或－2＜λ＜.
【误区警示】θ为锐角0＜cosθ＜1，易忽略cosθ＜1而误选D.
6.【解析】选A.＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.
7.【解析】选C.∵(＋)·＝0，
∴(＋)·(－)＝0，
∴2－2＝0，即||＝||，
又A、B、C度数成等差数列，∴B＝60°，从而C＝60°，A＝60°，∴△ABC为等边三角形.
8.【解析】选B.∵－2＝·＝||·||cosA＝
||·||×(－)，∴||·||＝4，
由三角形重心性质可得＋＝3,9||2＝||2＋||2＋2·≥2||·||＋2·＝2×4＋2×(－2)＝4，所以||min＝.
9.【解析】选D.由题意得存在m(m≠0)使＝m·，即λa＋b＝m(a＋μb)，得λ＝m,1＝mμ，
∴λμ＝1.
10.【解题指南】利用B、F、E三点共线，D、F、C三点共线是解答本题的关键，而用两种形式表示向量是求x，y的桥梁.
【解析】选C.＝a，＝b，得＝b－a，＝b－a.因为B，F，E三点共线，令＝t，则＝＋t ＝(1－t)a＋tb.因为D，F，C三点共线，令＝s ，则＝＋s ＝(1－s)a＋sb.根据平面向量基本定理得，解得t＝，s＝，得x＝，y＝，即(x，y)为(，)，故选C.
11.【解析】∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
∴，即，
∴|a|2＝|b|2＝2|a|·|b|cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉＝，∴向量a与b的夹角为.
答案：
12.【解析】∵z＝＝＝－i，
∴＝i，∴||＝1.
答案：1
13.【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z＋3＋4i|≤2
表示点(x，y)到点(－3，－4)的距离小于或等于2.
∴|z|＝的最大值为＋2＝7.
答案：7
14.【解析】a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得，4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝.
答案：
15.【解析】由于|a－λb|2＝1＋λ2－λ＝(λ－)2＋，故当λ＝时,|a－λb|取得最小值.
答案：
16.【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0.
由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等，得
由①得x2＝－(y－1)2＋9，
又y＞0，∴x2≤9，又x＜0，∴－3≤x＜0，
∴－6≤a＜0.即a的取值范围为[－6,0).
17.【解析】方法一：(1)由已知可得＝(＋)，＝－，
·＝(＋)·(－)
＝(2－2)＝(64－36)＝14.
(2)·的值为一个常数，
∵L为线段BC的垂直平分线，L与BC交于点D，E为L上异于D的任意一点，
·＝0，故·＝(＋)·＝·＋·＝·＝14，为常数.
方法二：(1)以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求得A(，)，此时＝(－，－)，＝(－10,0).
·＝－×(－10)＋(－)×0＝14.
(2)设E点坐标为(0，y)(y≠0)，
此时＝(－，y－)，
此时·＝－×(－10)＋(y－)×0＝14(常数).
18.【解析】(1)∵z∥(x＋y)，∴cosB(sinC＋cosC)＋
cosC(sinB＋cosB)＝0，
即tanC＋tanB＋2＝0，∴tanC＋tanB＝－2.
(2)∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，
由正、余弦定理得：
a×＋3××c＝0，
∴a2－c2＝2b2.
19.【解析】(1)由题意知：
f(x)＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x
＝1＋2cos(2x＋)
∴f(x)的最小正周期T＝π，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)∵f(A)＝1＋2cos(2A＋)＝－1，
∴cos(2A＋)＝－1.
又<2A＋<，
∴2A＋＝π，∴A＝.
∵＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，
∴7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，
又b>c，∴b＝3，c＝2.
20.【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，且设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，
则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y).
∵＝－，∴(x，y－b)＝－(a－x，－y).
∴a＝，b＝－，即A(0，－)，Q(，0).
＝(3，－)，＝(x，y).
∵·＝0，∴3x－y2＝0，即y2＝4x.
∵a＞0，∴x＝3a＞0.
所以，所求M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0).
【方法技巧】求动点轨迹方程的技巧和方法：
(1)直接法：若动点的运动规律是简单的等量关系，可根据已知(或可求)的等量关系直接列出方程.
(2)待定系数法：如果由已知条件可知曲线的种类及方程的具体形式，一般可用待定系数法.
(3)代入法(或称相关点法)：有时动点P所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P′的运动而运动，称之为相关点，若相关点P′满足的条件简单、明确(或P′的轨迹方程已知)，就可以用动点P的坐标表示出相关点P′的坐标，再用条件把相关点满足的轨迹方程表示出来(或将相关点坐标代入已知轨迹方程)就可得所求动点的轨迹方程的方法.
(4)几何法：利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程.
(5)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标间的关系，可选择一个(有时已给出)与所求动点的坐标x，y都相关的参数，并用这个参数把x，y表示出来，然后再消去参数的方法.
21.【解析】(1)＝－＝(cosα－sinα，－1)，
设＝(x，y)，则＝－＝(x－cosα，y).
由＝得x＝2cosα－sinα，y＝－1，
故＝(2cosα－sinα，－1).
＝－＝(sinα－cosα，1)，
＝－＝(2sinα，－1)，
f(α)＝·＝(sinα－cosα，1)·(2sinα，－1)
＝2sin2α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)
＝－sin(2α＋)，
又α∈(－，)，故0＜2α＋＜，
当0＜2α＋≤，即－＜α≤时，f(α)单调递减；
当＜2α＋＜，即＜α＜时，f(α)单调递增，
故函数f(α)的单调递增区间为(，)，
单调递减区间为(－，].
(2)＝ (2cosα－sinα，－1)，＝(－sinα，2)，
由O，P，C 三点共线可得
(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得tanα＝.
sin2α＝＝＝.
∴|＋|＝＝＝.
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