单元评估检测（四）
（第四章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知平面向量、共线，则下列结论中不正确的个数为( )
①、方向相同
②、两向量中至少有一个为
③λ∈R，使b=λ
④λ1,λ2∈R，且λ12+λ22≠0,λ1+λ2=0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.(2012?长沙模拟)如果复数是实数，(i为虚数单位，a∈R),则实数a的值是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.(2012?岳阳模拟)已知向量a=(1,-2),b=(x,2),若a⊥b,则|b|=( )
(A)5 (B)25 (C)5 (D)20
4.已知向量满足=(2,0)，=().在△ABC中，
D为BC边的中点，则||等于( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
5.(2012?衡阳模拟)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部记作Im(z)=b,则=
( )
(A) (B) (C)- (D)-
6.已知||=2||,且||≠0,关于x的方程x2+||x-·=0有两相等实根，则向量与的夹角是( )
7.（易错题）已知为互相垂直的单位向量，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
(A)(-∞,-2)∪(-2, ) (B)［,+∞)
(C)(-2, )∪(,+∞) (D)(-∞, )
8.已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足=( )
(A)1∶3 (B)3∶1 (C)1∶2 (D)2∶1
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9.(2012·桂林模拟)函数y=的部分图象如图所示，则 =_____
10.已知是不共线的向量，那么A、B、C三点共线的充要条件为 ________
11.(预测题)如图，△ABC中，AD=DB，AE=EC，CD与BE交于F，设
则(x,y)为 __________.
12.若非零向量满足=______.
13..(2012·厦门模拟)已知复数是z的共轭复数，则的模等于_________.
14.(2012?株洲模拟)设向量a=(1,sinθ),b=(3sinθ,1),且a∥b,则cos2θ等于__________.
15. O是平面α上一点，点A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足，当λ=时，的值为_________.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知a=,b=,且θ∈[0,].
(1)若|a+b|=1,试求θ的值；
(2)求的最值.
17.(12分)设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内的对应点位于第二象限;
(2)z·+2iz=8+ai(a∈R).
试求a的取值范围.
18.(12分)已知向量=(3,-2),=(-2,1),=(7,-4)，是否能以，作为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由.
19.(13分)(2012?岳阳模拟)已知在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，向量m= (cosA,sinA),n=(cosB,sinB),m?n=sinB-cosC.
(1)求角A的大小；
(2)若a=3,求△ABC面积的最大值.
20.(13分)(2012·烟台模拟)已知：A(cosx,sinx)，其中0≤x＜2π，B(1,1),
(1)求f(x)的对称轴和对称中心；
(2)求f(x)的单调递增区间.
21.(13分)已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A，B两点，点C的坐标是(1,0).
(1)证明：为常数;
(2)若动点M满足 (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程.
答案解析
1.【解析】选C.若、均为非零向量，则由∥知、方向相同或相反，故①②不正确；若=，≠，则不存在实数λ使=λ，故③不正确；若、均为零向量，则④正确，若≠，则由两向量共线知，存在λ≠0，使=λ即λ-=，则④正确，综上，只有④正确，故选C.
2.【解析】选D.2i+ ==,
∵是实数，∴2- =0?a=4.
3.【解析】选B.由a⊥b可得x=4,故b=(4,2),
∴|b|=.
4.【解题指南】由D为BC边的中点可得即可.
【解析】选A.∵D为BC边的中点,∴
∴| |=2.
5.【解析】选D.∵
∴
6.【解析】选D.设向量与的夹角为θ，由方程x2+||x-·=0有两相等的实根可得Δ=|a|2+4a·b=0,即4||2+8||2cosθ=0,∴cosθ=-,
则向量与的夹角为
7.【解题指南】设、的夹角为θ，由θ为锐角可得0＜cosθ=＜1，进而可求出λ的取值范围.
【解析】选A.∵
同理可求
设的夹角为θ，则0°＜θ＜90°,
cosθ=
由0＜cosθ＜1得λ＜-2或-2＜λ＜.
【误区警示】θ为锐角?0＜cosθ＜1，易忽略cosθ＜1而误选D.
8.【解题指南】把目标向量用已知向量表示是解题的关键.
【解析】选D.因为
又
所以故选D.
9.【解析】由tan()=0结合图象知A(2,0);
由tan()=1结合图象得B(3,1),故=(5,1)·(1,1)=5+1=6.
答案：6
10.【解析】由题意得必存在m(m≠0)使得λ=m,1=mμ,
∴λμ=1.
答案：λμ=1
11.【解题指南】利用B、F、E三点共线，D、F、C三点共线是解答本题的关键，而用两种形式表示向量是求x,y的桥梁.
【解析】因为B，F，E三点共线，令因为D，F，C三点共线，令则根据平面向量基本定理得解得即(x,y)为(,).
答案：(,)
12.【解析】∵
答案：0
13.【解析】∵
∴=i,∴||=1.
答案：1
14. 【解析】由a∥b?sin2θ=,∴cos2θ=1-2sin2θ=1-=.
答案：
15.【解析】由已知得
即
当
答案：0
16. 【解析】(1)a?b=cos2θ,
|a+b|2=|a|2+|b|2+2a?b=2+2cos2θ=4cos2θ,
∵θ∈[0,],∴|a+b|=2cosθ,
∴2cosθ=1,
∴θ=.
(2)令t=cosθ,则
∴在t∈[,1]上是递增的，
∴-≤≤,
即要求式子的最大值为，最小值为-.
17.【解析】设z=x+yi(x,y∈R)，由(1)得x＜0,y＞0.
由(2)得x2+y2+2i(x+yi)=8+ai,
即x2+y2-2y+2xi=8+ai.
由复数相等，得
由①得x2=-(y-1)2+9,
又y＞0,∴x2≤9,又x＜0,
∴-3≤x＜0,∴-6≤a＜0.
即a的取值范围为［-6,0).
18.【解析】∵=(3,-2),=(-2,1),
3×1-(-2)× (-2)=-1≠0,
∴与不共线，故一定能以, 作为平面内所有向量的一组基底.
设=λ+μ，即(7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2μ,μ)=(3λ-2μ，-2λ+μ),
∴
∴
19. 【解析】(1)m?n=cosAcosB+sinAsinB,
又m?n=sinB+cos(A+B)
=sinB+cosAcosB-sinAsinB,0
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