湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是( )
A.[0,) B. C. D.
【答案】D
2.设函数在区间[1,3]上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.设函数等于( )
A.6 B.2 C.0 D.-6
【答案】D
4.曲线在点(1,0)处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
5.对于R上可导的任意函数,若满足,则必有( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
6.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[1,) C.[1,2) D.[,2)
【答案】B
7.若,则k=( )
A.1 B.0 C.0或1 D.以上都不对
【答案】C
8.如果物体做的直线运动,则其在时的瞬时速度为( )
A. 12 B. C. 4 D.
【答案】A
9.已知函数f(x)的定义域为[-1,4],部分对应值如下表,f(x)的导函数的图象如上图所示。当1<a<2时,函数y=f(x)-a的零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
10.如图所示,曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分),则该叶形图的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】D
11.设函数f(x)=+lnx 则( )
A.x=为f(x)的极大值点 B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为 f(x)的极大值点 D.x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
12.函数处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13. .
【答案】1
14.设曲线在点处的切线与直线垂直,则
【答案】
15.由直线,,与曲线所围成的封闭图像的面积为
【答案】
16.____________
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知函数,其中.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(Ⅲ)设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数)
【答案】(Ⅰ)①()
令,则,又的定义域是
②设切点为则 解得
③
令,则,
(Ⅰ)当时,在单调增加
(Ⅱ)当时,在单调减少,在单调增加;
若时,;
若时,;
(Ⅲ)当时,在上单调递减,;
综上所述,时,;
时,。
18.某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片,包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲。该公司计划用(百万元)请李子恒老师进行创作,经调研知:该唱片的总利润(百万元)与成正比的关系,当时.又有,其中是常数,且.
(Ⅰ)设,求其表达式,定义域(用表示);
(Ⅱ)求总利润的最大值及相应的的值.
【答案】(Ⅰ)
当时,
定义域:
(Ⅱ)
讨论:若,即时
在单调递增,在上单调递减.
所以
若,即时
,所以在上为增函数。
综上述:当时,;当时,
19.函数g(x)=x3+ax2-bx(a,b∈R),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).
(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;
(2)若g(x)在区间-1,3上是单调递减函数,求a2+b2的最小值.
【答案】(1)f(x)=g′(x)=x2+ax-b.
∵-2,4分别是f(x)=x2+ax-b=0的两实根,
∴a=-(-2+4)=-2,b=2×4=8,
∴f(x)=x2-2x-8.
(2)∵g(x)在区间-1,3上是单调递减函数,
∴g′(x)≤0即f(x)=x2+ax-b≤0在-1,3上恒成立.
∴
即
A点坐标为(-2,3),
∴a2+b2的最小值为13.
20.已知函数f(x)=(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sin x是区间[-1,1]上的减函数.
(1)求a的值及的范围。
(2)讨论关于x的方程=x2-2ex+m的根的个数.
【答案】 (1)由于f(x)是在R上的奇函数,所以f(0)=0,故a=0.
∵g(x)在[-1,1]上单调递减,∴x∈[-1,1]时,g′(x)=λ+cos x≤0恒成立
∴λ≤-1,
(2)由(1)知f(x)=x,∴方程为=x2-2ex+m,
令f1(x)=,f2(x)=x2-2ex+m,
∵f′1(x)=
当x∈(0,e)时,f′1(x)>0,∴f1(x)在(0,e]上为增函数;
当x∈(e,+∞)时,f′1(x)<0,∴f1(x)在(e,+∞)上为减函数;
当x=e时[f1(x)]max=f1(e)=.
而f2(x)=(x-e)2+m-e2
∴当m-e2>时,即m>e2+时方程无解.
当m-e2=时,即m=e2+时方程有一解.
当m-e2<时,即m<e2+时方程有两解.
21.已知函数
(Ⅰ)若且函数在区间上存在极值,求实数的取值范围;
(Ⅱ)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
【答案】(Ⅰ)因为, x 0,则,
当时,;当时,.
所以在(0,1)上单调递增;在上单调递减,
所以函数在处取得极大值;
因为函数在区间(其中)上存在极值,
所以 解得;
(Ⅱ)不等式,又,则 ,,则;
令,则,
,在上单调递增,,
从而, 故在上也单调递增, 所以,
所以. ;
22.已知在处都取得极值.
(1)求、的值;
(2)若对时,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
在处都取得极值
,
即
经检验符合
(2)由(1)可知,
由,得的单调增区间为,
由,得的单调减区间为和,
当时,,
而
所以,即在上的最小值为,
要使对时,恒成立,必须
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