湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )
A．[0,) B． C． D．
【答案】D
2．设函数在区间[1，3]上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
3．设函数等于( )
A．6 B．2 C．0 D．－6
【答案】D
4．曲线在点（1,0）处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
5．对于R上可导的任意函数，若满足，则必有( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
6．若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．[1，＋∞） B．[1，） C．[1,2） D．[，2）
【答案】B
7．若，则k=( )
A．1 B．0 C．0或1 D．以上都不对
【答案】C
8．如果物体做的直线运动，则其在时的瞬时速度为( )
A． 12 B. C． 4 D．
【答案】A
9．已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上图所示。当1＜a<2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
10．如图所示，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】D
11．设函数f（x）=+lnx 则( )
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
12．函数处的切线方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13． .
【答案】1
14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则
【答案】
15．由直线，，与曲线所围成的封闭图像的面积为
【答案】
16．____________
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知函数，其中.
(Ⅰ）求函数的单调区间；
(Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；
(Ⅲ）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）
【答案】(Ⅰ）①（）
令，则，又的定义域是
②设切点为则 解得
③
令，则，
(Ⅰ）当时，在单调增加
(Ⅱ）当时，在单调减少，在单调增加；
若时，；
若时，；
(Ⅲ）当时，在上单调递减，；
综上所述，时，；
时，。
18．某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲。该公司计划用（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润（百万元）与成正比的关系，当时.又有，其中是常数，且.
(Ⅰ）设，求其表达式，定义域（用表示）；
(Ⅱ）求总利润的最大值及相应的的值.
【答案】（Ⅰ）
当时，
定义域：
(Ⅱ）
讨论：若，即时
在单调递增，在上单调递减.
所以
若，即时
，所以在上为增函数。
综上述：当时，；当时，
19．函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．
(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；
(2)若g(x)在区间－1,3上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．
【答案】(1)f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b.
∵－2,4分别是f(x)＝x2＋ax－b＝0的两实根，
∴a＝－(－2＋4)＝－2，b＝2×4＝8，
∴f(x)＝x2－2x－8.
(2)∵g(x)在区间－1,3上是单调递减函数，
∴g′(x)≤0即f(x)＝x2＋ax－b≤0在－1,3上恒成立．
∴
即
A点坐标为(－2,3)，
∴a2＋b2的最小值为13.
20．已知函数f(x)＝(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sin x是区间[－1,1]上的减函数．
(1)求a的值及的范围。
(2)讨论关于x的方程＝x2－2ex＋m的根的个数．
【答案】 (1)由于f(x)是在R上的奇函数，所以f(0)＝0，故a＝0.
∵g(x)在[－1,1]上单调递减，∴x∈[－1,1]时，g′(x)＝λ＋cos x≤0恒成立
∴λ≤－1，
(2)由(1)知f(x)＝x，∴方程为＝x2－2ex＋m，
令f1(x)＝，f2(x)＝x2－2ex＋m，
∵f′1(x)＝
当x∈(0，e)时，f′1(x)＞0，∴f1(x)在(0，e]上为增函数；
当x∈(e，＋∞)时，f′1(x)＜0，∴f1(x)在(e，＋∞)上为减函数；
当x＝e时[f1(x)]max＝f1(e)＝．
而f2(x)＝(x－e)2＋m－e2
∴当m－e2＞时，即m＞e2＋时方程无解．
当m－e2＝时，即m＝e2＋时方程有一解．
当m－e2＜时，即m＜e2＋时方程有两解．
21．已知函数
(Ⅰ）若且函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
(Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（Ⅰ）因为， x 0，则，
当时，；当时，.
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值；
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以 解得；
(Ⅱ）不等式，又，则 ，,则；
令，则，
，在上单调递增，，
从而， 故在上也单调递增， 所以，
所以. ；
22．已知在处都取得极值．
(1）求、的值；
(2）若对时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
在处都取得极值
，
即
经检验符合
(2）由（1）可知，
由，得的单调增区间为，
由，得的单调减区间为和，
当时，，
而
所以，即在上的最小值为，
要使对时，恒成立，必须
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