第19课 抽象函数
1．（2012汕头质检）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是奇函数，
∴的图象关于点对称，
∵恒成立，
∴为上的减函数；
∵，∴，
∴，∴．
2．（2012湛江二模）对一个定义在上的函数有以下四种说法：
①，；
②在区间上单调递减；
③对任意满足；
④是奇函数．
则以上说法中能同时成立的最多有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】B
【解析】②③，②④，③④都可以同时成立．
3．（2012聊城质检）已知定义在上的函数满足下列三个条件：
①对于任意的都有；
②对于任意的都有；
③函数的图象关于轴对称.
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，，，
∵函数的图象关于轴对称，
∴，
∴，，
∵对于任意的都有；
∴
4．已知，、，且对任意、都有：
①，②．给出以下三个结论：
（1），（2），（3）．其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由①，得．
②，
∴，
∴．
∴，
，
．
5．已知是定义在上的函数，当时，，且对于任意的正数，，都有．
（1）证明：在上是增函数；
（2）如果，解不等式．
【解析】（1）证明：设，
则 ，
∵，， ∴，
∴在上是增函数．
（2）当时，．
令，得，∴，
∴由，得．
∴，
∵，
∴，解得．
∴原不等式的解集为．
6．定义在上的函数，．当时，，且对任意的都有．
(1)证明：对任意的，；
(2)证明：是上的单调增函数；
(3)若，求的取值范围．
【解析】（1）证明：令，得，
∵，∴．
令，则，∴，
设，则，，
∴．
(2)证明：设，
则
．
∵，∴，且，
∴，∴是上的单调增函数．
(3)由，
得，解得．
∴的取值范围是．
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