第27课 生活中的优化问题举例
1．（2012江门一模）某产品生产成本与产量（）的函数关系式为，销售单价与产量的函数关系式为．
（1）产量为何值时，利润最大？
（2）产量为何值时，每件产品的平均利润最大？
【解析】（1）销售收入．
利润（）．
．
∴产量时，利润最大．
（2）每件产品的平均利润．
．
令，解得得．
∵当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∵，且，
∴产量时，每件产品的平均利润最大．
答：当产量时，每件产品的平均利润最大．
2．（2011福建高考）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克。
（1）求的值
（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解析】（1）∵时，，
由函数式，
得，∴．
（2）由（1）知，
∴每日的销售量为，．
每日销售该商品所获得的利润为
，．
．
于是，当变化时，，的变化情况如下表：
（3,4）
4
（4,6）
0
极大值
由上表可以看出，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点．
∴当时，函数取得最大值．
因此当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
3．（2012西城一模）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．
（1）求面积以为自变量的函数式；
（2）若，其中为常数，且，求的最大值．
【解析】（1）依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为．
点的横坐标满足方程，解得，舍去．
∴．
由点在第一象限，得．
∴关于的函数式为 ，．
（2）由 及，得．
记，
则．
令，得．
① 若，即时，与的变化情况如下：
↗
极大值
↘
∴当时，取得最大值，且最大值为．
② 若，即时，恒成立，
∴的最大值为．
综上，时，的最大值为；
时，的最大值为．
4．（2011江苏高考）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm．
（1）若广告商要求包装盒侧面积（cm）最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【解析】（1）根据题意有
,
∴包装盒侧面积最大．
（2）根据题意有，
∴，
当时，当时，递增；当时，递减，
∴当时，取极大值也是最大值．
此时，包装盒的高与底面边长的比值为．
即包装盒容积（cm）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为．
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