第47课 数列求和（2）
1．（2012天津高考）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记；证明：．
【解析】(1)设数列的公差为，数列的公比为，
∵，，
∴，
解得，
∴，，．
(2) ，
∴，①
，②
①②，得
，
∴，∴，
当时，，
∴当时，．
2．（2012江西高考）已知数列的前项和（其中为常数），且，．
（1）求；
（2）求数列的前项和．
【答案】
【解析】(1)∵当时，，
当时，，
∴，
∵，∴，
当或时，，且，
∵，∴且，∴，
∵，∴，∴，∴，
当时，，
综上所述．
(2) ，则
，①
，②
①②，得
∴．
3．（2012惠州调研）已知数列的前项和为，对任意，有．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）∵ 对任意，有，
∴，得．
又由，得 ．
当且时，
有，
即， ∴，
∴是以为首项，为公比的等比数列．
需验证取,时也成立.
∴，有．
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
设数列 的前项和为，
则
∴，
两式相减，得
，
∴，
∴．
4．（2012安徽高考）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，求．
【解析】（1），
，
，
得：当时，取极小值，
得：．
（2）由（1）得：．
．
当时，，
当时，，
当时，，
得： 当时，，
当时，，
当时，．
5．（2012湖南高考）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．
（1）用表示，，并写出与的关系式；
（2）若公司希望经过年使企业的剩余资金为万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）．
【解析】（1），
，
．
（2）∵，
∴，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
∴．
由题意，，
∴
∴．
故该企业每年上缴资金的值为缴时，
经过年企业的剩余资金为元．
6．（2012湖北高考）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．
（1）求等差数列的通项公式；
（2）若成等比数列，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则，，
由题意得，
解得，或．
∴，
，
∴，或．
（2）当时，分别为，不成等比数列；
当时，分别为，成等比数列，满足条件．
故
记数列的前项和为．
当时，；当时，；
当时，
．
当时，满足此式．
综上，
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