第八章 立体几何
第49课 空间几何体的结构
1.下列说法错误的是（ ）
A．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等
B．四棱柱有条侧棱，个侧面，侧面为平行四边形
C．多面体至少有四个面
D．棱台的侧棱延长后必交于一个点
【答案】A
2．下列结论正确的是（ ）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【答案】D
【解析】A错误.如由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.
B错误.若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.
C错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.
3．（2012安徽高考）若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则______(写出所有正确结论编号)．
①四面体每组对棱相互垂直
②四面体每个面的面积相等
③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于
④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
【答案】②④⑤
【解析】②四面体每个面是全等三角形，面积相等；
③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于；
④连接四面体每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分；
⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
4．如图，在底面为正方形的长方体上任意选择个顶点，它们可能是如下各种几何形体的个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．
①矩形．
②不是矩形的平行四边形．
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体．
④每个面都是等腰三角形的四面体．
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
【答案】①③④⑤
【解析】①对，图中，四边形为矩形．
③对，图中，四面体符合条件．
④对，图中，四面体符合条件．
⑤对，图中，四面体符合条件．
5．如图，长方体中，，，从长方体的一条对角线的一个端点出发，沿表面运动到另一个端点，求其最短路程
【解析】从对角线的一端沿侧面到点有三种到达方式：
①经侧棱到达，则最短距离为图中的线段，
∴ ．
②经侧棱到达，则最短距离为图中的线段，
∴ ．
③经侧棱到达，则最短距离为图中的线段，
∴．
综上可知，其最短距离是．
6．三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，求这个正三棱台的斜高与侧棱长．
【解析】如图，，，，
∵ 底面，是正三角形，
∴ ．
．
．
．
在直角梯形中，斜高为
∴ ．
在直角梯形中，侧棱为，
∴ ．
∴ 正三棱台的斜高与侧棱长分别为、．
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