第55课 立体几何中的探究性问题
1．（2012佛山二模）如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求证: 平面；
（3）在棱上是否存在点（异于点），使得∥平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【解析】（1）显然四边形为直角梯形，
∴．
∵底面，
∴．
(2) ∵底面， 底面，∴．
∵在直角梯形中，
，，
∴，∴．
又∵， ∴平面．
(3)不存在，下面用反证法证明：
假设存在点（异于点），使得∥平面，
∵，平面，
∴平面，．
∵，
∴平面∥平面，
而平面与平面相交，得出矛盾．
2．（2012昌平二模）在正四棱柱中，为中点, 为中点.
（1）求证:平面；
（2）在上是否存在一点,使平面?若存在，请确定点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
证明：（1）在正四棱柱中，
取中点,连结,如图：
∴且.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵，
∴四边形是平行四边形，∴.
∵为中点，∴.
∴四边形是平行四边形.
∴，∴.
∵,，
∴.
（2）当点为的中点时,平面，
在正方形中,
∴≌. ∴.
∵.
∴.
∴.
∵,
∴,.∴平面.
∴在上存在中点,使得平面.
3．（2012朝阳二模）如图，四边形为正方形，平面，，.（1）求证：；
（2）若点在线段上，且满足, 求证：平面；
（3）试判断直线与平面是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.
证明：（1）∵，
∴与确定平面，
∵平面，平面，
∴.
∵，，
∴平面.
又平面,∴.
（2）过作，垂足为，
连结，则.
又,∴.
又且,
∴，且，
∴四边形为平行四边形.
∴.
又平面,平面,
∴平面.
（3）直线平面.
证明如下：
由（1）可知，.
在四边形中，,,，
，
∴，则.
设,
∵,故,
则,即.
又∵，∴平面.
4．（2012茂名二模）如图所示，圆柱的高为，点、、、分别是圆柱下底面圆周上的点，为矩形，是圆柱的母线， ，，、、分别是线段、、的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：//平面；
（3）在线段上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
证明（1）∵是圆柱的母线，
∴圆柱的底面．
∵圆柱的底面，，
又∵为矩形，∴，
而，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）取中点，连接，
∵、、分别是线段、、的中点，
∴，
∴、、、四点共面．
又为中点，∴．
又平面，平面，
∴//平面．
（3）假设在上存在一点，使得到平面的距离为，
则以为底，为顶点的三棱锥的高为，
连接，则，
由（2）知，
∴，
∴． ……11分
∵，
∴． ……12分
∵，∴，解得：．
∵，
∴线段上存在一点，当时，
使得到平面的距离为．
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