第67课 抛物线
1．（2012四川高考）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可设抛物线方程为，
∵点到该抛物线焦点的距离为，
∴，∴，∴，
∵点在抛物线上，∴，
∴．
2．（2012安徽高考）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（ ）
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，，取，
∵，∴，∴．
3．（2012新课标高考）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设知抛物线的准线为：，
设等轴双曲线方程为：，
将代入双曲线方程得，
∵，∴，
解得，∴实轴长，选C．
4．（2012福建高考）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】Ａ．
【解析】∵抛物线的焦点坐标为，∴，∴，
∴双曲线的渐进线方程为，即，
∴，故选Ａ．
5．（2010深圳二模）已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．
证明：．
【解析】（1）设椭圆的方程为，半焦距为．
由已知条件，得，
∴，解得． .
∴椭圆的方程为：．
（2）显然直线的斜率存在，
否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，
故可设直线的方程为，
，
由，得，
∴ ，．
∵抛物线的方程为，求导得，
∴过抛物线上、两点的切线方程分别是
，，
即 ，，
解得两条切线、的交点的坐标为
，即．
∴．
∴．
6．（2012浙江高考）如图，在直角坐标系中，点到抛物线：（）的准线的距离为．点是上的定点，是上的两动点，且线段被直线平分．
（1）求，的值．
（2）求面积的最大值．
【解析】（1）由题意得，得．
（2）由（1）可知直线的方程为，设，
∵线段被直线平分．
∴可设线段的中点坐标为
由题意得，设直线的斜率为．
由（1）可知抛物线方程为
由，得，
∴，得，
∴直线的方程为，即．
由，整理得，
∴，得，
，．
∴，
设点到直线的距离为，则
，设的面积为，
则．
令，，则．
设，，则．
由，得，∴，
故的面积的最大值为．
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