第69课 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（2011全国高考）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．
【解析】（1）曲线与轴的交点为，
与轴的交点为（
故可设的圆心为，则
，解得．
∴圆的半径为．
∴圆的方程为．
（2），∴．
判别式．
设， ，
∴，，①
由于，∴，
又 ∴ ．②
由①②得，满足故．
2.（2012西城一模）已知椭圆的离心率为，一个焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值．
【解析】（1）∵，，
∴ ， ．
∴椭圆的方程为．
（2）由，得，
∵，∴，
设，∴，
设线段的中点为，则
，．
∵点，都在以点为圆心的圆上，
∴，∴ ，
解得 ，符合题意．∴ ．
3.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线与曲线交于不同的两点、，若存在点，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由椭圆的定义可知，动点的轨迹是
以、为焦点，长轴长为的椭圆．
∴，，．
∴的方程是．
（2）设、，的中点为．
由 ，得 ．
∴
∴，．
∴斜率．
又∵， ∴，
∴ ， 即 ．
当时，；
当时，
．
故所求的取范围是．
4．（2012昌平二模）已知椭圆: ，过点, 离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆交于两个不同的点，且使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知,，
∴，∴，
∴椭圆的方程为．
（2） 点M为PN的中点，
设 则 ①
当直线的斜率不存在时，
，，,
易知不符合条件，此时直线方程不存在．
当直线的斜率存在时，设方程为，
由，得 ，
∵，
解得，（*）
设，，则
②，，③
由①②③可得消去，
可得，故，
综上：存在这样直线的方程为：．
5．（2012东莞一模）已知椭圆的一个顶点为，且焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点、．当时，求的取值范围．
【解析】（1）依题意可设椭圆方程为，
则右焦点,
由题设，解得，
故所求椭圆的方程为．
（2）设，为弦的中点，
由，
得，
∵直线与椭圆相交，
∴，
∴，①
∴，
从而，
∴，
又，∴，
则 ，
即 ， ②
把②代入①得 ，解得 ，
由②得，解得．
综上求得的取值范围是．
6．（2012天津高考）已知椭圆，点在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为椭圆的右顶点，为坐标原点，若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值．
【解析】（1）∵点在椭圆上，
∴，∴，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）∵为椭圆的右顶点，∴．
设，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，或（舍去），
∴，
∴直线的斜率．
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