第十四章 推理与证明
第79课 推理与证明
1．(2012江西高考)观察下列事实的不同整数解的个数为4 ，的不同整数解的个数为8， 的不同整数解的个数为12，…，则的不同整数解的个数为（ ）
A．76 B．80 C．86 D．92
【答案】B
【解析】个数为首项为4，公差为4的等差数列，
∴，，选B．
2．（2011江西高考）观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（ ）A．01 B．43 C．07 D．49
【答案】B
【解析】设（，
∵
∴当时，末两位数字为07；
当时，末两位数字为49；
当时，末两位数字为43；
当时，末两位数字为01；
∵，故选B．
3．（2012房山一模）设函数，，，（）,则方程有___个实数根，方程有___个实数根．
【答案】，
【解析】，∴或，有4个解．
∵可推出，根个数分别为，
∴通过类比得出有个实数根．
4．(2012湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
（1）位回文数有 个；
（2）位回文数有 个．
【答案】，
【解析】（1）位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，
但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，
∴位回文数有种．
5．(2012湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：
（1）是数列中的第______项；
（2） ______．（用表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…，的一个通项公式为，
写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,
发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,
故．
∴可猜想：（为正整数），
，
故，
即是数列中的第项．
【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．来年需注意类比推理以及创新性问题的考查．
（2）由上面多组数据研究发现，位回文数和位回文数的个数相同，
∴可以算出位回文数的个数．
位回文数只用看前位的排列情况，
第一位不能为0，有9种情况，
后面项每项有10种情况，
∴个数为．
6．证明 ：已知,求证：.
【证明】 要证：,
只要证.
∵,故只要证，
即，
即，
从而只要证,
只要证，
即，而该不等式显然成立，
故原不等式成立.
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