第八讲 平面与平面垂直的判定与性质
一、知识回顾
知识点1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图1中的二面角可记作：二面角或或.
图1 图2 图3
知识点2：如图2，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 反思：二面角的大小范围是多少？
知识点3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图3，垂直，记作.
知识点4：（判定定理 ）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
知识点5：（性质定理）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
二、典型例题
例1、 如图是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，
求证：平面平面.
例2、如图，四棱锥的底面是个矩形， ，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.
⑴证明：侧面侧面；
⑵求侧棱与底面所成的角.
例3、如图，二面角的平面角是个锐角，点到、和棱的距离分别为、、.
⑴分别求直线与面和面所成的角; ⑵求二面角的大小.
三、课堂练习
1. 对于直线,平面,能得出的一个条件是（ ）.
A. B.
C. D.
2. 已知，，是的斜线，，则与的位置关系是（ ）.
A.∥ B. 与相交不垂直 C. D.不能确定
3. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.
4. 正方体的棱长为1，是的中点，则二面角的大小为________.
5．如图在正方体中，求面与面所成二面角的大小（取锐角）.
四、总结提升
1. 二面角的有关概念，二面角的求法；
2. 两个平面垂直的判定定理和性质定理及应用.
※ 知识拓展
1．二面角的平面角作法：如图过平面内一点，作于点，
再作于，连接，则即为所求平面角.
2．两个平面垂直的性质还有：
⑴若两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；
⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；
⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.
3．论证垂直问题要注意垂直关系的转化，每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系为：
五、课后作业
1.在正方体中，是棱与的中点，求面与面所成二面角的正切值.（取锐角）
2. 如图在空间四边形中， =90°，°，，
⑴求证：平面平面. ⑵求二面角的平面角的正弦值.
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