第八讲 向量的加、减法运算、数乘运算及其几何意义
一、知识回顾
知识点1:向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法。
知识点2:三角形法则:已知向量a、b,在平面内任取一点作=a,=b,
则向量叫做a与b的和,记作a+b,即 。
平行四边形法则:在平面内任取一点,作=a,=b,
以线段OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则对角线向量
表示a与b的和,即
两相向量的和仍是一个向量。规定:a + 0= 0 + a= a
知识点3:向量加法的交换律:+=+;结合律:(+) +=+ (+)
知识点4:反向量:与a长度相同、方向相反的向量.记作 -a规定:①零向量的反向量仍是零向量;
②-(-a) = a;③任一向量与它的反向量的和是零向量;④的反向量是
知识点5:向量的减法:向量a加上的b反向量,叫做a与b的差. 即:a - b = a + (-b)
记= a, = b 则= a - b
知识点6:实数与向量的积是一个向量,记作. 它的长度和方向规定如下:
(1)
(2)时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;
特别地,当或时,
知识点7:结合律:设、为任意向量,、为任意实数,则有:
(1); (2); (3).
知识点8:向量与非零向量平行的充要条件:有且仅有一个实数,使得.
知识点9:单位向量:模为1的向量,与同方向的单位向量,记作.
二、典型例题
例 1、平行四边形中,a,b,E是AB的一个三等分点,
用a、b表示向量、、。
例 2、如图,在中,已知、分别是、的中点,用向量方法证明:
例 3、设、不共线, ,,若、、三点共线,求的值。
三、课堂练习
1、在△ABC中, =a, =b,则等于( )
A. a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a
2、O为平行四边形ABCD平面上的点,=a, =b, =c, =d,则( )
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
3、如图,在四边形ABCD中,根据图示填空:
a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .
四、总结提升
1、向量加、减法的定义、几何意义、作法,与运算律;
2、数乘运算:与的积还是向量,与是共线的;
五、课后作业
1、如图,在中,是的中点,是延长线上的点,且,
根据下列要求表示向量:用、表示; (2)用、表示.
2、一艘船以5km/h的速度在行驶,同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小最大是km/h,最小是km/h。
3、如图,已知,,,求证:∽
4、已知两个力F1,F2的夹角是直角,且已知它们的合力F与F1的夹角是60,|F|=10N,
求F1和F2的大小。
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