第八讲 平面与平面垂直的判定与性质
一、知识回顾
知识点1:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图1中的二面角可记作:二面角或或.
图1 图2 图3
知识点2:如图2,在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 反思:二面角的大小范围是多少?
知识点3:两个平面所成二面角是直二面角,则这两个平面互相垂直.如图3,垂直,记作.
知识点4:(判定定理 )一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
知识点5:(性质定理)两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
二、典型例题
例1、 如图是⊙的直径,垂直于⊙所在的平面,是圆周上不同于的任意一点,
求证:平面平面.
例2、如图,四棱锥的底面是个矩形, ,侧面是等边三角形,且侧面垂直于底面.
⑴证明:侧面侧面;
⑵求侧棱与底面所成的角.
例3、如图,二面角的平面角是个锐角,点到、和棱的距离分别为、、.
⑴分别求直线与面和面所成的角; ⑵求二面角的大小.
三、课堂练习
1. 对于直线,平面,能得出的一个条件是( ).
A. B.
C. D.
2. 已知,,是的斜线,,则与的位置关系是( ).
A.∥ B. 与相交不垂直 C. D.不能确定
3. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它和这条斜线的位置关系为_______.
4. 正方体的棱长为1,是的中点,则二面角的大小为________.
5.如图在正方体中,求面与面所成二面角的大小(取锐角).
四、总结提升
1. 二面角的有关概念,二面角的求法;
2. 两个平面垂直的判定定理和性质定理及应用.
※ 知识拓展
1.二面角的平面角作法:如图过平面内一点,作于点,
再作于,连接,则即为所求平面角.
2.两个平面垂直的性质还有:
⑴若两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内;
⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么这两个平面的交线垂直于这个平面;
⑶三个两两垂直的平面,它们的交线也两两垂直.
3.论证垂直问题要注意垂直关系的转化,每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系为:
五、课后作业
1.在正方体中,是棱与的中点,求面与面所成二面角的正切值.(取锐角)
2. 如图在空间四边形中, =90°,°,,
⑴求证:平面平面. ⑵求二面角的平面角的正弦值.
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