第八讲 向量的加、减法运算、数乘运算及其几何
意义 一、知识回顾 知识点1：向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 知识点2：三角形法则：已知向量a、ｂ，在平面
内任取一点
作
＝a，
＝ｂ， 则向量
叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即
。 平行四边形法则：在平面内任取一点
，作
＝a，
＝ｂ, 以线段OA，OB为邻边作平行四边形O
ACB，则对角线向量
表示a与ｂ的和，即
两相向量的和仍是一个向量。规定：a + 0= 0 + a= a 知识点3：向量加法的交换律：
+
=
+
；结合律：(
+
) +
=
+ (
+
) 知识点4：反向量：与
a长度相同、方向相反的向量.记作 -a规定：①零向量的反向量仍是零向量； ②-(-
a) = a；③任一向量与它的反向量的和是零向量；④
的反向量是
知识点5：向量的减法：向量a加上的b反向量，叫做a与b的差. 即：a - b = a + (-b) 记
= a，
= b 则
= a - b 知识点6：实数
与向量
的积是一个向量，记作
. 它的长度和方向规定如下： （1）
（2）
时，
的方向与
的方向相同；当
时，
的方向与
的方向相反； 特别地，当
或
时，

知识点7：结合律：设
、
为任意向量，
、
为任意实数，则有： （1）
；　（2）
；　（3）
. 知识
点8：向量
与非零向量
平行的充要条件：有且仅有一个实数
，使得
. 知识点9：单位向量：模为1的向量，与
同方向的单位向量，记作

. 二、典型例题 例 1、平行四边形
中，
a，
b，E是AB的一个三等分点， 用a、b表示向量

、
、
。 例 2、如图，在
中，已知
、
分别是
、
的中点，用向量方法证明：


例 3、设
、
不共线，
，
，若
、
、
三点共线，求
的值。 三、课堂练习 1、在△ABC中，
=a，
=b，则
等于( ) A. a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 2、O为平行四边形ABCD平面上的点，

=a
，
=b，
=c，
=d，则( ) A.a+b+c+d=0 B.
a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0
D.a-b-c+d=0 3、如图，在四边形ABCD中，根据图示填空： a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= . 四、总结提升 1、向量加、减法的定义、几何意义、作法，
与运算律； 2、数乘运算：
与
的积还是向量，
与
是共线的； 五、课后作业 1、如图，在
中，
是
的中点，
是
延长线上的点，且
， 根据下列要求表示向量

：用
、
表示； （2）用
、
表示. 2、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是
km/h，最小是
km/h。 3、如图，已知
，
，
，求证：
∽

4、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60
，|F|=10N， 求F1和F2的大小。

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