第2讲 空间图形的基本关系与公理
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．
答案 A
2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 ( )．
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、异面或相交
解析 经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.
答案 D
3．以下四个命题中，正确命题的个数是 ( )．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．
答案 B
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是 ( )．
A．A1、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面
C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面
解析 因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．
解析 只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．
答案 ①②④
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
答案 ③④
三、解答题(共25分)
7．(12分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD.
又BC綉AD，∴GH綉BC，∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
8．(13分)在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．
(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈，这样的直线有几条，应该如何作图？
解 (1)连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.
图(a)
(2)∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图(b)．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈.
当α＝时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．
图(b)
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·咸阳模拟)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 ( )．
A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°
解析 如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确．∴正确选项为D.图(b)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.
答案 D
2.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 ( )．
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析 如图，连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故两直线所成的角即为∠HGB＝60°.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH是正方形．
解析 易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.
答案 AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
解析 法一 在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．
法二 在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．
答案 无数
三、解答题(共25分)
5．(12分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．
证明 ∵M∈PQ，直线PQ?平面PQR，M∈BC，直线BC?面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上．
同理可证：N、K也在l上．∴M、N、K三点共线．
6．(13分)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
解 (1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，
即∠PBO＝60°，在Rt△POB中，
∵BO＝AB·sin 30°＝1，
又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan 60°＝，
∵底面菱形的面积S菱形ABCD＝2.
∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×2×＝2.
(2)取AB的中点F，连接EF，DF，
∵E为PB中点，∴EF∥PA，
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．在Rt△AOB中，
AO＝AB·cos 30°＝＝OP，
∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝.
在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝，
∴cos∠DEF＝＝＝＝.
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.
【点此下载】