第4讲 垂直关系
A级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则 ( )．
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
解析 如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．
答案 C
2．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是 ( )．
A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直
解析 因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.
答案 A
3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是 ( )．
A．PA＝PB＝PC
B．PA⊥BC，PB⊥AC
C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等
D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等
解析 条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.
答案 B
4．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )．
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若mα，nβ，m⊥n，则n⊥α
C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
解析 与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5. 如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．
解析 折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．
答案 垂直
6．(2012·景德镇一模)已知直线l⊥平面α，直线m平面β.给出下列命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确命题的序号是________．
解析 由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β?l∥β或lβ，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m?mα或m∥α，又mβ，所以α，β可能平行或相交，故④错误．
答案 ①③
三、解答题(共25分)
7．(12分)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)如图，连接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，
∴AN＝PC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，
∴BN＝PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，
又M为底边的中点，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
(2)连接PM、MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∴PA＝BC.
又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.
而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.
又N为PC的中点，∴MN⊥PC.
由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，
∴MN⊥平面PCD.
8．(13分)(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
(1)求证：B1D1∥平面A1BD；
(2)求证：MD⊥AC；
(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
(1)证明 由直四棱柱，得BB1∥DD1，
又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD.
而BD平面A1BD，B1D1?平面A1BD，
∴B1D1∥平面A1BD.
(2)证明 ∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.
而MD平面BB1D，∴MD⊥AC.
(3)解 当点M为棱BB1的中点时，
平面DMC1⊥平面CC1D1D.
取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．
∵N是DC的中点，BD＝BC，
∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，
而平面ABCD⊥平面DCC1D1，
∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，
∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．
∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.
∵OM平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有( )．
A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
解析 折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，
∴AH⊥面HEF.
答案 A
2. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )．
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
解析 由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析 ∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC)
4. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确．
答案 ①②③
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·萍乡模拟)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；
(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.
(3)求三棱锥D－BCE的体积．
(1)证明 连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，
又MN＝AE＝CD，
∴四边形ANME为平行四边形，
∴AN∥EM.∵AN?平面CME，EM平面CME，
∴AN∥平面CME.
(2)证明 ∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，
∴AN⊥平面BCD.
由(1)，知AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD.
又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.
(3)解 VD－BCE＝VE－BCD＝S△BCD·|EM|
＝××＝.
6．(13分)(2013·合肥模拟)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綊BB1，AB＝AC＝AA1＝BC，B1C1綊BC.
(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；
(2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C.
(3)若BC＝2，求几何体ABC－A1B1C1的体积．
(1)证明 ∵AB＝AC＝BC，AB2＋AC2＝BC2，
∴AB⊥AC，
又AA1⊥平面ABC，AB平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1∩AC＝A，
∴AB⊥平面AA1C，
又∵AA1綊BB1，∴四边形ABB1A1为平行四边形．
∴A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面AA1C.
(2)证明 ∵B1C1綊BC，且D是BC的中点，
∴CD綊C1B1，∴四边形C1CDB1为平行四边形，
∴B1D∥C1C，B1D?平面A1C1C且C1C平面A1C1C，
∴B1D∥平面A1C1C.
(3)解 连接AD，DC1，
V＝V三棱柱A1B1C1－ABD＋V四棱锥C－AA1C1D
＝×1×1×＋×(×1)×1＝.
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