第5讲 简单几何体的面积与体积
A级　基础演练 (时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2013·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则左视图的面积为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．2＋ B．1＋ C．2＋2 D．4＋ 解析　依题意得，该几何体的左视图的面积等于22＋×2×＝4＋. 答案　D 2．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 (　　)． A.π＋12 B.π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18 解析　该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋π3＝π＋18. 答案　B 3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为 (　　)．
A．48 B．64 C．80 D．120 解析　据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4××8×5＝80(cm2)． 答案　C 4．(2012·新课标全国)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为 (　　)． A. B. C. D. 解析　在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝＝；同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×  ＝，则三棱锥的体积为××2＝. 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于________． 解析　将三棱锥S－ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π. 答案　4π 6．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.
解析　由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为的球，其体积为6×3×1＋2××π×3＝18＋9π(m3)． 答案　18＋9π 三、解答题(共25分) 7．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解　(1)这个几何体的直观图如图所示． (2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)， 体积V＝23＋×()2×2＝10 (cm3)． 8．(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，如图所示，求CP＋PA1的最小值． 解　PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．计算A1B＝AB1＝，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．
CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理，得 A1C＝＝＝5， 故(CP＋PA1)min＝5. B级　能力突破 (时间：30分钟　满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2 解析　该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π××1－2×π2＝94＋. 答案　C 2．(2013·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为 (　　)． A. B. C. D. 解析　三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝. 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．(2013·江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．
解析　借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4. 答案　12＋4 4．(2012·长春二模)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________． 解析　设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为＝2，圆锥底面面积为S1＝π·(2)2＝24π，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S2＝π×2×3＝18π.因此圆锥的全面积为S＝S2＋S1＝18π＋24π＝(18＋24)π. 答案　(18＋24)π 三、解答题(共25分) 5．(12分)(2013咸阳模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积． 解　由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5， S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π. 6．(13分)如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图(b)所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD； (2)求几何体D－ABC的体积． (1)证明　在图中，可得AC＝BC＝2， 从而AC2＋BC2＝AB2， 故AC⊥BC， 又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2， ∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝， 由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.

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