第7讲 立体几何中的向量方法（一）
A级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则 ( )．
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
答案 B
2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 ( )．
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析 若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.
答案 D
3．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是 ( )．
A. B．(6，－2，－2)
C．(4,2,2) D．(－1,1,4)
解析 设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.
答案 D
4．(2012·全国)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 ( )．
A．2 B. C. D．1
解析 连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，因为AB＝2，所以AC＝2，又CC1＝2，所以OH＝sin 45°＝1.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.
解析 由已知得＝＝，
∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.
答案 －2或
6．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．
解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．
∵PA＝PB＝PC，
∴H为△ABC的外心．
又∵△ABC为正三角形，
∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为.
∴PH＝ ＝a.
∴点P到平面ABC的距离为a.
答案 a
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．
解 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，
M，N.
∴＝，＝.
设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．
8．(13分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE.
则N，E(0,0,1)，
A(，，0)，M
∴＝.
＝.
∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝，
∵D(，0,0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)
∴·＝0，∴AM⊥DF.
同理AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 ( )．
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2,4 D．4，，－15
解析 ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，
则解得
答案 B
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为 ( )．
A.a B.a C.a D.a
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且＝，
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)
∴x＝a，y＝，z＝.
得M，
∴||＝ ＝a.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．
解析 以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需·＝(1,1，y)·(x－1，0,1)＝0?x＋y＝1.
答案 1
4．(2013·渭南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的有____________个．
解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，
∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.
答案 2
三、解答题(共25分)
5．(12分)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
(1)证明 如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.
＝，＝(0，a,0)．
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解 设G(x,0，z)，则＝，
若使GF⊥平面PCB，则由
·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；
由·＝·(0，－a，a)
＝2＋a＝0，
得z＝0.
∴G点坐标为，即G点为AD的中点．
6．(13分)(2012·湖南)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
解 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，
P(0,0，h)．
(1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)．
因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
(2)由题设和(1)知，·分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，
即＝.
由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，
又＝(4,0，－h)，
故＝.
解得h＝.
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，
所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.
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