第8讲 立体几何中的向量方法（二）
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为 ( )．
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析 设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.
答案 A
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为 ( )．
A．30° B．120° C．60° D．90°
解析 如图建立直角坐标系D－xyz，
设DA＝1，由已知条件，得
G，B，E，F，＝，
＝
cos〈，〉＝＝0，则⊥.
答案 D
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 建立坐标系如图，
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
答案 B
4．(2013·南昌月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，
cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝，
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．
解析 cos〈n，a〉＝＝＝－.
又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.
答案 .
6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．
解析 建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，
则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，
∴·＝2，
∴cos〈，〉＝＝，
∴EF和BC1所成角为60°.
答案 60°
三、解答题(共25分)
7．(12分)如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．
(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；
(2)求E到平面ACD的距离；
(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．
解 如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．
(1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)，
∴|cos〈，〉|＝＝，
∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.
(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)，
∴
∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)．
∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)，
∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.
(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，〉|＝＝
8．(13分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)求二面角P－BD－A的大小．
(1)证明 如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2，0,0)，
C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，
∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，
＝(－2，2,0)．
∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.
又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.
(2)解 设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)，
∴解得
令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.
∴二面角P－BD－A的大小为60°.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为 ( )．
A. B. C. D.
解析 二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋.而2＝2＋2＋2－2||·||·cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A－BC－D的大小为.故选B.
答案 B
2．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．
由＝(1,1，－1)，得
＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos ∠APC＝cos〈，〉＝＜0，这等价于·＜0，
即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)＜0，得＜λ＜ 1.因此，λ的取值范围为.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2011·全国)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．
解析 如图，建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，F，
＝，＝，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
面AEF与面ABC所成的二面角为θ，
由得
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)
平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)
cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝.
答案
4．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．
解析 如图所示建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝.
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，〉＝＝，
所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2012·新课标全国)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC.
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，
故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
因为BC?平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)解 由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．
则＝(0,0，－1)，＝
(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则
即可取n＝(1,1,0)．
同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则
即可取m＝(1,2,1)．
从而cos〈n，m〉＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
6.(13分)(2012·全国)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
(1)证明 以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，
B.于是＝(2，0，－2)，＝，＝，
从而·＝0，·＝0，
故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
(2)解 ＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，且
m·＝0，即2z＝0且x－by＝0，令x＝b，则m＝(b，，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，
则n·＝0，且n·＝0，
即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，
cos〈n，〉＝＝，〈n，〉＝60°.
因为PD与平面PBC所成角和〈n，〉互余，
故PD与平面PBC所成的角为30°.
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