第八章 第八节 曲线与方程
一、选择题
1．已知| |＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点， ＝ ＋ ，则动点P的轨迹方程是 ( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
2．已知两个定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 ( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足 ＝λ1 ＋λ2 (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 ( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 ( )
A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1)
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
5．给出以下方程：
①2x＋y2＝0；②3x2＋5y2＝1；③3x2－5y2＝1；④|x|＋|y|＝2；⑤|x－y|＝2，则其对应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．圆O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是 ( )
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
二、填空题
7．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是____________．
8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
9．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是____．
三、解答题
10．已知A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点．
求动点P的轨迹C的方程．
11．已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
12．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO＝∠AOP.
当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程．
详解答案
一、选择题
1．解析：设A(0，y0)，B(x0,0)，P(x，y)，则由| |＝3得x＋y＝9，又因为 ＝ (x，y)， ＝(0，y0)， ＝(x0,0)，由 ＝ ＋ 得x＝，y＝，因此x0＝，y0＝3y，将其代入x＋y＝9得＋y2＝1.
答案：A
2．解析：设P(x，y)，则|PA|2＝(x＋2)2＋y2，|PB|2＝(x－1)2＋y2，又|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，
∴(x－2)2＋y2＝4，表示圆，∴S＝πr2＝4π.
答案：B
3．解析：设C(x，y)，则 ＝(x，y)， ＝(3,1)，
＝(－1,3)，
∵＝λ1 ＋λ2 ，∴，又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
答案：A
4．解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，
又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，
∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，
故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c＝7，a＝1，b2＝
48，∴点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．
答案：A
5．解析：所给出的方程中，①2x＋y2＝0是抛物线，②3x2＋5y2＝1是椭圆，③3x2－5y2＝1是双曲线，④|x|＋|y|＝2是一个正方形，⑤|x－y|＝2是两条平行直线，只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线，可以放进一个足够大的圆内．
答案：B
6．解析：设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN，于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
过O作OP⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OP是中位线，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|.
根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．
答案：B
二、填空题
7．解析：(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)，B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
8．解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，
方程为－＝1(x＞3)．
答案：－＝1(x＞3)．
9．解析：因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．
答案：②③
三、解答题
10．解：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P是线段AB的中点，∴
∵A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，
∴y1＝x1，y2＝－x2.
∴
又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.
∴12y2＋x2＝12.
∴动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.
11．解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，
由已知得解得a＝4，c＝3.
b2＝a2－c2＝16－9＝7.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]．
由已知＝λ2及点P在椭圆C上可得
＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．
①λ＝时，化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4 ≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．
②λ≠时，方程变形为＋＝1，
其中x∈[－4,4]；
当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分；
当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．
12．解：如图，可得直线l：x＝－2与x轴交于点A(－2,0)，设P(－2，m)，
(1)当m＝0时，点P与点A重合，这时OP的垂直平分线为x＝－1，由∠AOP＝∠MPO＝0°，得M(－1,0)；
(2)当m≠0时，设M(x0，y0)，
①若x0>－1，由∠MPO＝∠AOP得MP∥OA，有y0＝m，
又kOP＝－，OP的中点为(－1，)，
∴OP的垂直平分线为y－＝(x＋1)，而点M在OP的垂直平分线上，
∴y0－＝(x0＋1)，又m＝y0，
于是y0－＝(x0＋1)，即y＝4(x0＋1)(x0>－1)．
②若x0<－1，如图，由∠MPO＝∠AOP得点M为OP的垂直平分线与x轴的交点，在y－＝(x＋1)中，令y＝0，有x＝－－1<－1，即M(－ －1,0)，
∴点M的轨迹E的方程为y2＝4(x＋1)(x≥－1)和y＝0(x<－1)．
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