第八章 第二节 直线的交点坐标、距离公式与对称问题
一、选择题
1.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于 ( )
A.0或- B.或-6
C.-或 D.0或
2.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 ( )
A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0[来源: ]
C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0
3. P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为 ( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)
4.直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0间的距离为 ( )
A. B.
C.4 D.8
5.使三条直线4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4不能围成三角形的m值最多有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.曲线-=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是 ( )
A.m>4或m<-4 B.-43或m<-3 D.-30,b>0),点(0,b)到直线x-2y-a=0的距离的最小值为________.
三、解答题
10.已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的方程.
[来源: ]
11.已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.
求分别满足下列条件的a,b的值.
(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.
12.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),如果两条平行直线间的距离为d,求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时,两条直线的方程.
详解答案
一、选择题[来源:
1.解析:依题意得=,∴|3m+5|=|m-7|,
∴3m+5=m-7或3m+5=7-m.
∴m=-6或m=.
答案:B
2.解析:由得交点A(1,1),
且可知所求直线斜率为-.∴方程为x+2y-3=0.
答案:D
3.解析:设P(x,5-3x),
则d==,|4x-6|=2,4x-6=±2,
∴x=1或x=2,∴P(1,2)或(2,-1).
答案:C
4.解析:因为直线l2的方程可化为3x+4y+=0.所以直线l1与直线l2的距离为=.
答案:B
5.解析:要使三条直线不能围成三角形,只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可.
若4x+y=4与mx+y=0平行,则m=4;
若4x+y=4与2x-3my=4平行,则m=-;[来源: ]
若mx+y=0与2x-3my=4平行,则m值不存在;
若4x+y=4与mx+y=0及2x-3my=4共点,则m=-1或m=.
综上可知,m值最多有4个.
答案:D
6.解析:曲线-=1的草图如图所示.与直线y=2x+m有两个交点.
则m>4或m<-4..
答案:A
二、填空题
7.解析:设所求直线为(x+3y-10)+λ(3x-y)=0,
整理,得(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.
由点到直线距离公式,得λ=±3.
∴所求直线为x=1和4x-3y+5=0.
答案:x=1或4x-3y+5=0
8.解析:表示点(x,y)到原点的距离.根据数形结合得的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离,即d==.
答案:
9.解析:点(0,b)到直线x-2y-a=0的距离为d==(a+2b)(+)=(3++)≥(3+2)=,当a2=2b2且a+b=ab,即a=1+,b=时取等号.
答案:
三、解答题
10.解:法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1、l2的交点分别为A(3,-4)和B(3,-9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5.符合题意.
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.
解方程组 得A(,-)
解方程组 得B(,-)
由|AB|=5,得(-)2+(-+)2=52.
解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1.
综上可知,所求l的方程为x=3或y=1.
法二:由题意,直线l1、l2之间的距离为d==,且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图所示),设直线l与直线l1的夹角为θ,
则sin θ==,故θ=45°.
由直线l1:x+y+1=0的倾斜角为135°,知直线l的倾斜角为0°或90°,又由直线l过点P(3,1),
故直线l的方程为x=3或y=1.
11.解:(1)∵l1⊥l2,
∴a(a-1)+(-b)·1=0,
即a2-a-b=0.①
又点(-3,-1)在l1上,
∴-3a+b+4=0②
由①②得a=2,b=2.
(2)∵l1∥l2,∴=1-a,∴b=.
故l1和l2的方程可分别表示为:
(a-1)x+y+=0,
(a-1)x+y+=0,
又原点到l1与l2的距离相等.
∴4=,∴a=2或a=,
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
12.解:(1)当两条平行直线与AB垂直时,两平行直线间的距离最大,最大值为d=|AB|==3,当两条平行线各自绕点B,A逆时针旋转时,距离逐渐变小,越来越接近于0,所以0
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