第八章 第六节 双曲线
一、选择题
1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的 ( )
A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3．设圆锥曲线F的两个焦点分别为F1，F2.若曲线F上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线F的离心率等于 ( )
A.或 B.或2[来源: ]
C.或2 D.或
4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则 · 的最小值为 ( )
A．－2 B．－
C．1 D．0
5．设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为 ( )
A. B.
C. D．－[来源: ]
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点，若OM⊥ON，则双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
8．已知双曲线kx2－y2＝1(k>0)的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．[来源:]
9．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
三、解答题
10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
[来源:]
11．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．[来源: ]
12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证： · ＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
详解答案
一、选择题
1．解析：若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分条件．
答案：A
2．解析：不妨设顶点(a,0)到直线x－3y＝0的距离为1，即＝1，解得a＝2.又＝，所以b＝，所以双曲线的方程为－＝1.
答案：A
3．解析：设圆锥曲线的离心率为e，因|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e＝＝＝；综上，所求的离心率为或.
答案：A
4．解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)、F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝
3(x2－1)， · ＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋
3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，当x＝1时， · 取得最小值－2.
答案：A
5．解析：由题意可知m－2＝3＋1，解得m＝6.
法一：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P为第一象限内的点，F1(0，－2)，F2(0,2)，联立＋＝1与－x2＝1组成方程组，解得P(，)．所以由两点距离公式计算得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.
又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝.
法二：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P为第一象限内的点，F1(0，－2)．F2(0,2)，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝4，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝
－，同上由余弦定理可得cos∠F1PF2＝.
答案：B
6．解析：由题意知，可设M(c，y0)(y>0)．
则－＝1，
∴y0＝.
又∵OM⊥ON，
∴＝c，即b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0
∴e2－e－1＝0
∴e＝＝
又∵e>1，
∴e＝.
答案：D
二、填空题
7．解析：由题知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48.
答案：48
8．解析：双曲线kx2－y2＝1的渐近线方程是y＝±x.∵双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴＝，k＝，∴双曲线的离心率为 e＝＝，渐近线方程为x±y＝0.
答案： x±y＝0
9．解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.
答案：5
三、解答题
10．解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
11．解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝，
同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2＝.
∴s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.
解不等式，得≤e2≤5.
由于e＞1，∴e的取值范围是[，]．
12．解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
k MF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故k MF1·k MF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴ ·＝0.
法二：∵ ＝(－3－2，－m)， ＝(2－3，－m)，
∴ ·＝(3＋2)×(3－2)＋m2
＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
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