第八章 第三节 圆的方程
一、选择题
1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
2．若点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 ( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
3．(已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为 ( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
4．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为 ( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
5．已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为 ( )
A．(x＋2)2＋ (y＋3)2＝9
B．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25
C．(x＋6)2＋(y＋)2＝
D．(x＋)2＋(y＋)2＝
6．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为 ( )
A．(x－1)2＋(y－3)2＝()2
B．(x－3)2＋(y－1)2＝()2
C．(x－2)2＋(y－)2＝9
D．(x－)2＋(y－)2＝9
二、填空题
7．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为________．
8．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．
9．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．
三、解答题
10．已知直线l1：4x＋y＝0，直线l2：x＋y－1＝0以及l2上一点P(3，－2)．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．
11．已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？若能在同一圆上，求出圆的方程，若不能在同一圆上，说明理由。
12．已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．
(1)求x－2y的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
详解答案
一、选择题
1．解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线经过圆的圆心，
所以3×(－1)＋2＋a＝0，即a＝1.
答案：B
2．解析：设圆心为C，则kPC＝＝－1，则AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0.
答案：A
3．解析：由圆心在x轴的正半轴上排除B，C，A中方程可化为(x－1)2＋y2＝4，半径为2，圆心(1,0)到3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝≠2，排除A.
答案：D
4．解析：曲线C的方程可化为：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心为(－a,2a)，要使圆C的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.
答案：D
5．解析：由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为|b|，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由于圆心在直线y＝2x＋1上，得b＝2a＋1 ①，令x＝0，得(y－b)2＝b2－a2，此时在y轴上截得的弦长为|y1－y2|＝2，由已知得，2＝2，即b2－a2＝5 ②，由①②得或(舍去)．所以，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.
答案：A
6．解析：设圆心(a，)(a>0)，则圆心到直线的距离d＝，
而d≥(2＋3)＝3，
当且仅当3a＝，
即a＝2时，取“＝”，此时圆心为(2，)，半径为3，圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝9.
答案：C
二、填空题
7．解析：将圆的方程化为标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝5.
故圆心C(1,2)到直线的距离d＝＝，
∴a＝0或a＝2.
答案：0或2
8．解析：由题可知kPQ＝＝1，又klkPQ＝－1?kl＝－1；圆关于直线l对称，找到圆心(2,3)的对称点(0,1)，又圆的半径不变，易得x2＋(y－1)2＝1.
答案：－1 x2＋(y－1)2＝1
9．解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．解：设圆心为C(a，b)，半径为r，依题意，得b＝－4a.
又PC⊥l2，直线l2的斜率k2＝－1，∴过P，C两点的直线的斜率kPC＝＝1，解得a＝1，b＝－4，r＝|PC|＝2.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
11．解：设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则
解此方程组，得
所以，经过A、B、C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5.
把点D的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.
所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
12．解：(1)设t＝x－2y，
则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点．
∴≤1.∴－－2≤t≤－2，
∴tmax＝－2，tmin＝－2－.
(2)设k＝，
则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，
∴≤1.∴≤k≤，
∴kmax＝，kmin＝.
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