第八章 第五节 椭圆
一、选择题
1．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )
A．6 B．5
C．4 D．3
2．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为 ( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
3．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则 ( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
4．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且
· ＝0，则点M到y轴的距离为( )
A. B.
C. D.
5．方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3 ＝ ＋2 ，则该椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
6．已知椭圆E：＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是 ( )
A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0
C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0
二、填空题
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．[来源: ]
8．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
9．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若 ＝5 ，则点A的坐标是________．
三、解答题
10．设椭圆C∶＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.
(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；
(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；[来源: ]
(3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.
12．已知椭圆G∶＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
详解答案
一、选择题
1．解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.
答案：A
2．解析：∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，
∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2<1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2个．
答案：B
3．解析：如图所示
设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝，
因tan∠COx＝2，
∴sin∠COx＝，cos∠COx＝，
则C的坐标为(，)，代入椭圆方程得＋＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝.
答案：C
4．解析：由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则 · ＝
(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3 ①.又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－ ②.将②代入 ①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.
答案：B
5．解析：设点D(0，b), 则 ＝(－c，－b)， ＝(－a，－b)， ＝(c，－b)，由3 ＝ ＋2 得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.
答案：D
6．解析：A选项中，当k＝－1时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆E截得的弦长相等；B选项中，当k＝1时，两直线平行，两直线被椭圆E截得的弦长相等；C选项中，当k＝1时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆E截得的弦长相等．
答案：D
二、填空题
7．解析：∵∠BAO＋∠BFO＝90°，
∴∠BAO＝∠FBO.
∴＝.
即OB2＝OA·OF，
∴b2＝ac.
∴a2－c2－ac＝0.
∴e2＋e－1＝0.
∴e＝＝.
又∵00，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.
从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
12．解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)由题意知，|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)，此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝＝.
由于当m＝±1时，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，
且当m＝±时，|AB|＝2，
所以|AB|的最大值为2.
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