(对应学生用书P267 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为 ( )
A. B.
C．2 D．3
解析 B 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此M到抛物线准线的距离为＋1＝.
2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析 B 直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6,4)．由抛物线的性质可以知道|PF|＝6＋2＝8.
3．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是 ( )
A．至多为1 B．2
C．1 D．0
解析 B 由题意知：>2，即<2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
4．已知直线x＝±1过椭圆＋＝1的焦点，则直线y＝kx＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ( )
A．k∈
B．k∈∪
C．k∈
D．k∈∪
解析 A 椭圆方程为＋＝1，与y＝kx＋2联立得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，由Δ＝48(4k2－1)＝0，解得k＝±，在同一坐标系中作出椭圆与过定点(0,2)的直线，分析得出A.
5．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是
( )
A．3x＋4y－13＝0 B．4x＋3y－13＝0
C．3x－4y＋5＝0 D．3x＋4y＋5＝0
解析 A 设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0.
又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．
即3x＋4y－13＝0，故选A.
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( )
A. B．2
C. D.
解析 C 方法一：－＝1的渐近线方程为y＝±x，由y＝x2＋1，得y′＝2x，设切点为(x0，y0)，
则解得x0＝1，b＝2a，
∴c2＝a2＋b2＝5a2，∴＝5，∴e＝＝，故选C.
方法二：∵y＝x是y＝x2＋1的切线，
∴有一个解，∴x＝x2＋1有一解，
∴Δ＝2－4＝0，∴＝2，∴b＝2a.
∴c2＝a2＋b2＝5a2，e＝＝，故选C.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则使·取得最小值的点P的坐标是________．
解析 设点P的坐标为(x，y)，
则·＝(x－2，y)·(x－4，y)＝x2－6x＋8＋y2
＝x2－10x＋8＝(x－5)2－17，
又x≤0，∴x＝0时，·最小，即P(0,0)．
【答案】 (0,0)
8．已知双曲线C的一个焦点为F，过F且垂直于实轴的直线被双曲线C截得的弦长等于双曲线C的焦距，则双曲线C的离心率为________．
解析 不妨设双曲线的方程为－＝1，设(c,0)为双曲线的右焦点，在双曲线方程中代入x＝c，可得y＝±，
由题意2×＝2c，化简得c2－ac－a2＝0，两边除以a2得
e2－e－1＝0.求得e＝.
【答案】
9．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析 如图，OA⊥AF，OB⊥BF，∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，在Rt△AOF中，OA＝a，OF＝c，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)设AB是过椭圆＋＝1的一个焦点的弦，若AB的倾斜角为60°，求弦AB的长．
解析 依题意，椭圆的一个焦点F为(1,0)，则直线AB的方程为y＝(x－1)，代入4x2＋5y2＝20，得
19x2－30x－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴|AB|＝
＝＝.
∴弦AB的长为.
11．(12分)椭圆＋＝1(a>b>1)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且⊥(O为原点)．
(1)求证：＋为定值；
(2)若椭圆离心率e∈时，求椭圆长轴长的取值范围．
解析 (1)由
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＝4a2b2(a2＋b2－1)>0，
得a2＋b2>1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.∴－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，∴＋＝2(定值)．
(2)∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)．
∴a2＝＝＋.
∵≤e≤，∴≤e2≤，∴≤1－e2≤，
∴1≤2(1－e2)≤.∴≤≤1，
∴≤a2≤.∴≤a≤.
∴长轴长的取值范围为[，]．
12．(16分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解析 (1)由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得：a＋c＝3，a－c＝1，
∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，
即3＋4k2－m2>0，则
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)．
∴⊥，∴·＝0.
∴(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋＋＋4＝0.
即7m2＋16mk＋4k2＝0.
∴m＝－2k或m＝－k，且都满足Δ>0，
①当m＝－2k时，y＝kx－2k＝k(x－2)，
过定点(2,0)，而(2,0)是椭圆的右顶点，不合题意．
②当m＝－k时，y＝kx－k＝k，过定点，符合题意．
∴直线l过定点.
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