易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质
1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是 ( ).
A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)
解析 对于A,f(x)是反比例函数,可知其在(0,+∞)上是减函数,所以A符合题意;对于B,可知其是开口向上的抛物线,在(-∞,1]上是减函数,故不符合题意;对于C,可知其是指数函数,且底数e>1,故其在(0,+∞)上是增函数;对于D,可知其是底数大于1的对数函数,其在(-1,+∞)上递增.
答案 A
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
则f(3)的值为 ( ).
A.1 B.2 C.-2 D.-3
解析 f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-log28=-3.
答案 D
3.f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为
( ).
A.[-,+∞)
B.(-∞,-3]
C.(-∞,-3]∪[-,+∞)
D.[-,]
解析 f′(x)=x2+2ax+5,当f(x)在[1,3]上单调递减时,由得a≤-3;当f(x)在[1,3]上单调递增时,f′(x)≥0中,Δ=4a2-4×5≤0或或得a∈[-,+∞).
综上:a的取值范围为(-∞,-3]∪[-,+∞),故选C.
答案 C
4.已知f(x)=则下列函数的图象错误的是 ( ).
解析 根据分段函数的解析式,可得此函数的图象,如图所示.由于此函数在x∈[-1,1]上函数值恒为非负值,所以|f(x)|的图象不发生改变,故D选项错误.
答案 D
5.(2013·哈尔滨月考)函数f(x)=loga(2-ax2)在(0,1)上为减函数,则实数a的取值范围是 ( ).
A. B.(1,2) C.(1,2] D.
解析 由题意得a>0,所以内函数u=2-ax2在(0,1)上为减函数,而函数f(x)=loga(2-ax2)在(0,1)上也为减函数,则外函数y=logau必是增函数(复合函数单调性是同增异减),所以a>1.同时u>0在(0,1)上恒成立,故2-a×1≥0即a≤2.综上有a∈(1,2].
答案 C
6.已知函数f(x)的定义域为[1,9],且当1≤x≤9时,f(x)=x+2,则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为 ( ).
A.[1,3] B.[1,9] C.[12,36] D.[12,204]
解析 ∵函数f(x)的定义域为[1,9],∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足1≤x≤9,1≤x2≤9,解得1≤x≤3.∴函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3].
∵当1≤x≤9时,f(x)=x+2,∴当1≤x≤3时,也有f(x)=x+2,即y=[f(x)]2+f(x2)=(x+2)2+(x2+2)=2(x+1)2+4,∴当x=1时,y取得最小值,ymin=12,当x=3时,y取得最大值,ymax=36,∴所求函数的值域为[12,36],故选C.
答案 C
7.函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图
则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 ( ).
解析 从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数,故f(x)·g(x)是奇函数,排除B项.又g(x)在x=0处无意义,故f(x)·g(x)在x=0处无意义,排除C、D两项.
答案 A
8.(2013·山西四校联考)已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是 ( ).
A.(3,7) B.(9,25) C.(13,49) D.(9,49)
解析 函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴函数y=f(x)关于点(0,0)对称,即函数为奇函数,且在R上是增函数,故有f(x2-6x+21)<-f(y2-8y)恒成立,即f(x2-6x+21)0,设t==.则x=.
故log2=log2x2=log2x=log2=-log2t,
所以f(t)=-log2t,即f(x)=-log2x(x>0).
答案 -log2x(x>0)
13.(2013·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:
①f(2)=0;
②x=-4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[8,10]上单调递增;
④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2则x1+x2=-8.以上命题中所有正确命题的序号为________.
解析 令x=-2,得f(2)=f(-2)+f(2),即f(-2)=0,又函数f(x)是偶函数,故f(2)=0;根据①可得f(x+4)=f(x),则函数f(x)的周期是4,由于偶函数的图象关于y轴对称,故x=-4也是函数y=f(x)图象的一条对称轴;根据函数的周期性可知,函数f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确;由于函数f(x)的图象关于直线x=-4对称,故如果方程f(x)=m在区间[-6,-2]上的两根为x1,x2,则=-4,即x1+x2=-8.故正确命题的序号为①②④.
答案 ①②④
14.已知f(x)=lg(-x2+8x-7)在(m,m+1)上是增函数,则m的取值范围是________.
解析 复合函数f(x)=lg(-x2+8x-7)可以分解为外函数y=lg u和内函数u=-x2+8x-7.外函数是增函数,故内函数在(m,m+1)上必是增函数.故有
解得1≤m≤3.
答案 [1,3]
15.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时f(x)=1-x,则
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=x-3,
其中所有正确命题的序号是________.
解析 由已知条件:f(x+2)=f(x),
则y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;
当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=1+x,函数y=f(x)的图象如图所示:
当3
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