2.1 函数及其表示
一、选择题
1．下列各组函数中表示相同函数的是( )
A．y＝与y＝
B．y＝lnex与y＝elnx
C．y＝与y＝x＋3
D．y＝x0与y＝
解析 对于A，两函数的对应法则不同；
对于B，两函数的定义域不同；
对于C，两函数的定义域不同；
对于D，两函数的定义域都为{x|x∈R，x≠0}，对应法则都可化为y＝1(x≠0)．
答案 D
2．已知f：x→sinx是集合A(A?[0,2π])到集合B＝的一个映射，则集合A中的元素最多有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解析
当sinx＝时，x＝，.
所以，集合A中的元素最多有5个．
答案 B
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )．
解析 (筛选法)根据函数的定义，观察得出选项B.
答案 B
【点评】 本题解题利用的是筛选法，即根据题设条件筛选出正确选项，这种方法在选择题中经常应用.
4．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于
( )．
A. B. C．2 D．9
解析 f(f(0))＝f(2)＝4＋2a
由已知4a＝4＋2a，解得a＝2.
答案 C
5．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f＝( )．
A．－ B.
C．－ D.
解析 由图象知，f(x)＝
∴f＝－1＝－，
∴f＝f＝－＋1＝.
答案 B
6．对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )．
A．(－∞，－2]∪
B．(－∞，－2]∪
C.∪
D.∪
解析 当(x2－2)－(x－x2)≤1，即－1≤x≤时，f(x)＝x2－2；
当x2－2－(x－x2)＞1，即x＜－1或x＞时，f(x)＝x－x2，
∴f(x)＝
f(x)的图象如图所示，c≤－2或－1＜c＜－.
答案 B
7.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为（ ）
解析 注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选D.
答案 D
二、填空题
8. 已知函数f(x)＝则不等式1g[f(x)]的x的值是________．
解析 g(1)＝3 f[g(1)]＝1 g[f(1)]＝3
g(2)＝2 f[g(2)]＝3 g[f(2)]＝1
g(3)＝1 f[g(3)]＝1 g[f(3)]＝3
因此满足f(g(x))>g(f(x))的x＝2.
答案 1 2
10.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)= f(x)的定义域是______.
解析 要使函数有意义，须f(x)＞0，由f(x)的图象可知,
当x∈(2,8］时，f(x)＞0.
答案 (2,8］
11．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
解析 对①，f(x)＝x2，则f(－1)＝f(1)，此时－1≠1，则f(x)＝x2不是单函数，①错；对②，当x1，x2∈A，f(x1)＝f(x2)时有x1＝x2，与x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)互为逆否命题，②正确；对③，若b∈B，b有两个原象时．不妨设为a1，a2可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；对④，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是单调递增函数，但f(x)＝x2在R上就不是单函数，④错误；综上可知②③正确．
答案 ②③
12．在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.3]＝3，[－2.4]＝－3，设函数f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为________．
解析 f(x)＝－＝－，
f(－x)＝－，当x>0时，f(x)∈，
f(－x)∈，此时[f(x)]＋[f(－x)]的值为－1；
当x<0时，同理[f(x)]＋[f(－x)]的值为－1；当x＝0时，[f(x)]＋[f(－x)]的值为0，故值域为{－1,0}．
答案 {－1,0}
三、解答题
13．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝－lg cos x；
(3)y＝lg(x－1)＋lg ＋.
解 (1)，?x＜4且x≠3，
故该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(2)即
故所求定义域为∪∪.
(3)即或x＜－1，解得1＜x＜9.
故该函数的定义域为(1,9)．
14. 设x≥0时，f(x)=2;x＜0时，f(x)=1，又规定：g(x)=
(x＞0)，试写出y=g(x)的解析式，并画出其图象.
解析 当0＜x＜1时，x-1＜0,x-2＜0,
∴g(x)= =1.
当1≤x＜2时，x-1≥0，x-2＜0,
∴g(x)= ;
当x≥2时，x-1＞0，x-2≥0,
∴g(x)= =2.
故g(x)=
其图象如图所示.
15．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f[g(2)]与g[f(2)]．
(2)求f[g(x)]与g[f(x)]的表达式．
解 (1)g(2)＝1，f[g(2)]＝f(1)＝0.
f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，
f[g(x)]＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，
f[g(x)]＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
即f[g(x)]＝
g[f(x)]＝
16．已知向量a＝(1,1)，b＝(1,0)，向量c满足a·c＝0且|a|＝|c|，b·c>0.
(1)求向量c；
(2)映射f：(x，y)→(x′，y′)＝x·a＋y·c，若将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
解析 (1)设c＝(x，y)，则?
∴c＝(1，－1)．
(2)假设直线l存在，∴xa＋yc＝(x＋y，x－y)，
∵点(x＋y，x－y)在直线l上，
因此直线l的斜率存在且不为零，
设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，
∴x－y＝k(x＋y)＋b，即(1＋k)y＝(1－k)x－b，与y＝kx＋b表示同一直线，
∴b＝0，k＝－1±.
∴直线l存在，其方程为y＝(－1±)x.
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