第二章 第六节 幂函数与二次函数
一、选择题
1．下列函数中，其定义域、值域不同的是( )
A．y＝x B．y＝x－1
C．y＝x D．y＝x2
2．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
3．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是( )
A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2)
C．f(0)＜f(2)＜f(－2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
4．二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
5．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为( )
A．－3 B．－
C．3 D.
6．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A．(－，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[－，1] D．(－∞，－]
二、填空题
7．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．
8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.[来源: ]
9．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝－xm且f(4)＝－，
(1)求m的值；
(2)求f(x)的单调区间．
11．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
详解答案
一、选择题
1．解析：对A，定义域、值域均为[0，＋∞)；对B，定义域、值域均为[来源: .Com]
(－∞，0)∪(0，＋∞)；对C，定义域、值域均为R；对D，定义域为R，
值域为[0，＋∞)．
答案：D
2．解析：由a>b>c，a＋b＋c＝0知a>0，c<0，因而图象开口向上，又f(0)＝c<0，故D项符合要求．
答案：D
3．解析：∵f(1＋x)＝f(－x)，
∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c.
∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c.
∴2＋b＝－b，即b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝.
∴f(0)＜f(2)＜f(－2)．
答案：C
4．解析：由题意f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a为偶函数，
所以2－a＝0，a＝2.
答案：D
5．解析：设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3.
∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝.
答案：D
6．解析：令f(x)＝x2＋ax－2，
由题意，知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点，
则 ∴－≤a≤1.
答案：C
二、填空题
7．解析：∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1，
∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7) m，
∴幂函数y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，故m>0.
答案：(0，＋∞)
8．解析：由于方程有整数根，因此，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
9．解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，由题意知即
解得0)．[来源: ]
∵f(x)图象的对称轴是x＝－1，
∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1.[来源:]
∴f(x)＝x2＋2x.
又∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，
∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.
(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)
＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.
①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；
②当λ<－1时，h(x)图象对称轴是x＝，
则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；
③当λ>－1时，同理则需≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．
12．解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2.
∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在x∈(0,1]上恒成立，
根据单调性可得－x的最小值为0，[来源:]
－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.
∴b的取值范围为[－2,0]．
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