第二章 第十二节 导数的应用(一)
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
2．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x＋1)单调递减的一个充分不必要条件为x∈( )
A．(0,1) B．[0,2]
C．(1,3) D．(2,4)
3．函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是( )
A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点
B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点
C．x＝－1不是函数f(x)的极值点
D．x＝－1不一定是函数f (x)的极值点
4．已知函数f(x)＝4x＋3sin x，x∈(－1,1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1，)
C．(－2，－) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
5．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[1，)
C．[1,2) D．[，2)
6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
8.如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：
(1)f(x)在(－3,1)上是增函数；
(2)x＝－1是f(x)的极小值点；
(3)f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；
(4)x＝2是f(x)的极小值点；
以上正确的序号为________．
9．若函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)内单调递减，在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则p的取值集合是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(0,0)， (2,0)．
(1)求a，b的值；
(2)求x0及函数f(x)的表达式．
11．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a>0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
注：e为自然对数的底数．
12．设f(x)＝ax3＋bx＋c为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值与最小值．
详解答案
一、选择题
1．解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1＋>0.故f(x)的递增区间为
(0，＋∞)．
答案：A
2．解析：令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得1－1，f′(x)>0或x<－1，f′(x)<0，但函数f(x)在x＝－1处未必连续，即x＝－1不一定是函数f(x)的极值点．
答案：D
4．解析：∵f(x)＝4x＋3sin x，x∈(－1,1)，
∴f′(x)＝4＋3cos x>0在x∈(－1,1)上恒成立．
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
又f(x)＝4x＋3sin x，x∈(－1,1)是奇函数，
∴不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0可化为
f(1－a)0，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．
答案：2
8. 解析：当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－3，－1)上是减函数，故(1)错误；对(2)，当x<－1时，f′ (x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点，故(2)正确，同理可知(4)错误；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，故(3)正确．
答案：(2)(3)
9．解析：由题意知f′(－2)＝0，f′(0)＝0，而f′(x)＝3x2－2px，则有12＋4p＝0，即p＝－3.故填{－3}．
答案：{－3}
三、解答题
10．解：(1)由题设可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f′(x)的图象过点(0,0)，(2,0)，
∴解得a＝－3，b＝0.
(2)由f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0，
∴在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0，∴f(x)在
(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x＝2处取得极小值，
所以x0＝2，由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1.
11．解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得：f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.
由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
12．解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c.
∴c＝0.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，
∴b＝－12.
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
因此f′(1)＝3a＋b＝－6，
故a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
列表如下
X
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大
极小
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
f(x)的极大值为f(－)＝8，极小值为
f()＝－8
又f(－1)＝10，f(3)＝18，
所以当x＝时，f(x)取得最小值为－8，当x＝3时f(x)取得最大值18.
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