第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算
一、选择题
1.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．00，∴a<0.
故实数a的取值范围是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
三、解答题
10．解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)法一：y′＝
＝＝.
法二：∵y＝＝1＋，
∴y′＝1′＋()′，即y′＝.
11．解：f′(x)＝e2x－1·(2x－1)′＝e2x－1，
g′(x)＝e－2x－1·(－2x－1)′＝－e－2x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴＝y1，y2＝，
f′(x1)＝，g′(x2)＝，
∴x1－x2＝1，x1x2＝－，
∴x1＝，x2＝－，
∴y1＝，y2＝，
∴OA＝，OB＝，
即A(，)，B(－，)．
∵·＝0，
∴⊥，
∴S△AOB＝××＝.
12．解：(1)设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0－x.
又f′(x)＝3－3x2，∴切线斜率k＝＝3－3x.
即3x0－x－2＝(x0－2)(3－3x)．
∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0.
解得x0＝1或x0＝1±.
相应的斜率k＝0或k＝－9±6，
∴切线方程为y＝2或y＝(－9±6)(x－2)＋2.
(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为
y－y0＝(3－3x)(x－x0)，
与曲线S的方程联立，消去y，
得3x－x3－y0＝3(1－x)·(x－x0)，
即3x－x3－(3x0－x)＝3(1－x)(x－x0)．
即(x－x0)2(x＋2x0)＝0，则x＝x0或x＝－2x0，
因此，与曲线S切于点(x0，y0)(x0≠0)的切线，与S至少有两个交点．
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