第二章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)
1.已知A={0,1},B={-1,0,1},f是从A到B的映射,则满足f(0)>f(1)的映射有 ( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.2个
答案 A
解析 当f(0)=-1时,f(1)可以是0或1,则有2个映射.
当f(0)=0时,f(1)=1,则有1个映射.
2.函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是 ( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
答案 C
解析 由得x>-1且x≠1,即函数f(x)的定义域为(-1,1)∪(1,+∞).
3.(2012·天津文)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为
( )
A.y=cos2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R且x≠0
C.y=,x∈R D.y=x3+1,x∈R
答案 B
解析 逐项验证即可.
4.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且f(2)=0,则不等式≤0的解集为 ( )
A.(-∞,-2]∪(0,2] B.[-2,0]∪[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,0)∪(0,2]
答案 D
解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式,根据已知条件可画出f(x)的草图如图所示.
不等式≤0?≤0?≥0?或由图可知不等式的解集为[-2,0)∪(0,2].故选D.
5.函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一直角坐标系下的图像大致是( )
答案 C
解析 f(x)=1+log2x的图像可由f(x)=log2x的图像上移1个单位得到,且过点(,0)、(1,1),由指数函数性质可知g(x)=21-x为减函数,且过点(0,2),故选C.
6.函数f(x)=x2+|x-2|-1(x∈R)的值域是 ( )
A.[,+∞) B.(,+∞)
C.[-,+∞) D.[3,+∞)
答案 A
解析 (1)当x≥2时,f(x)=x2+x-3,此时对称轴为x=-,f(x)∈[3,+∞).
(2)当x<2时,f(x)=x2-x+1,
此时对称轴为x=,f(x)∈[,+∞).
综上知,f(x)的值域为[,+∞).
7.已知函数f(x)=9x-m·3x+m+1对x∈(0,+∞)的图像恒在x轴上方,则m的取值范围是 ( )
A.2-20,故选B.
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是 ( )
A.0 B.0或-
C.-或- D.0或-
答案 D
解析 ∵f(x+2)=f(x),∴T=2.
又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图像如图.
显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两不同的公共点.
另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个公共点,由题意知y′=(x2)′=2x=1,∴x=.
∴A(,),又A点在y=x+a上,∴a=-,∴选D.
10.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图像分别如图1、2所示,方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为a、b,则a+b= ( )
A. 14 B. 10
C. 7 D. 3
答案 B
解析 (1)对于方程f(g(x))=0,
令t=g(x),则由f(t)=0可得t=-1,0,1.
g(x)=-1时,x=±1,有2个.
g(x)=0时,有3个解.
g(x)=1时,x=±2,有2个.
∴f(g(x))=0的实根个数a=7.
(2)对于方程g(f(x))=0,
令t=f(x),由g(t)=0,得
t1∈(-2,-1),t2=0,t3∈(1,2).
f(x)=t1,无解;f(x)=t3,无解.
f(x)=0,3个解,即b=3.
∴a+b=10,选B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)
11.若函数f(x)=为奇函数,则a=________.
答案
解析 ∵f(x)=是奇函数,利用赋值法,
∴f(-1)=-f(1).
∴=-.
∴a+1=3(1-a),解得a=.
12.已知f(x)=,f(lga)=,则a的值为________.
答案 10或
解析 =,两边取10为底的对数,得(lga-)lga=,解得lga=1或lga=-,故a=10或a=.
13.已知偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=3x+,则f(log5)的值等于________.
答案 1
解析 由f(x+1)=f(x-1),知f(x+2)=f(x),函数y=f(x)是以2为周期的周期函数.
因为log5∈(-2,-1),log5+2=log∈(0,1),
又f(x)为偶函数且x∈[-1,0],f(x)=3x+,
所以当x∈[0,1]时,f(x)=3-x+.
所以f(log5)=f(log5+2)=f(log)=+=+=+=1.
14.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为______级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍.
答案 6,10 000
解析 由lg1 000-lg0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lgA9-lg0.001=9解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍.
15.如图中的实线部分表示函数y=f(x)的图像,它是由y=log2x的图像经过一系列变换而得到的,虚线表示变换过程,则f(x)=________.
答案 |log2|x-1||
16.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,且有如下零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.给出下列命题:
①若函数y=f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[a,b]上有且仅有一个零点;
②函数f(x)=2x3-3x+1有3个零点;
③函数y=和y=|log2x|的图像的交点有且只有一个;
④设函数f(x)对x∈R都满足f(3+x)=f(3-x),且函数f(x)恰有6个不同的零点,则这6个零点的和为18;
其中所有正确命题的序号为________.(把所有正确命题的序号都填上)
答案 ②④
解析 易知①错,②对,对于④,由对称性知也对,对于③,在同一坐标系中,分别作出两函数的图像,在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现,在其右侧有无交点呢?
通过图像很难断定,下面我们利用存在零点的条件f(a)·f(b)<0来解决这个问题,两函数图像的交点的横坐标就是函数f(x)=-|log2x|的零点,其中f(1)=>0,f(2)=-<0,f(4)=>0,所以在直线x=1右侧,函数有两个零点,一个在(1,2)内,一个在(2,4)内,故函数f(x)=-|log2x|共有3个零点,即函数y=和y=|log2x|的图像有3个交点.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=
(1)写出f(x)的单调区间;
(2)若f(x)=16,求相应x的值.
答案 (1)f(x)的单调增区间为(-2,0),(2,+∞),单调减区间为(-∞,-2],(0,2].
(2)-6或6
解析 (1)当x<0时,f(x)在(-∞,-2]上递减,在(-2,0)上递增;当x>0时,f(x)在(0,2]上递减,在(2,+∞)上递增.
综上,f(x)的单调增区间为(-2,0),(2,+∞),单调减区间为(-∞,-2],(0,2].
(2)当x<0时,f(x)=16,即(x+2)2=16,解得x=-6;
当x>0时,f(x)=16,即(x-2)2=16,解得x=6.
故所求x的值为-6或6.
18.(本小题满分12分)(2012·上海改编)已知函数f(x)=lg(x+1).
(1)若00,所以x+1<2-2x<10x+10,解得-0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x);
(2)若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
解析 (1)∵f(x)=b·ax图像过点A(1,6),B(3,24),
∴又a>0且a≠1,
∴a=2,b=3,∴f(x)=3·2x.
(2)由(1)知不等式()x+()x-m≥0即为()x+()x-m≥0.
∴问题转化成当x∈(-∞,1]时m≤()x+()x恒成立.
令g(x)=()x+()x,易知g(x)在(-∞,1]上为减函数.
∴g(x)≥g(1)=+=.
∴m≤.
21.(本小题满分12分)某宾馆有相同标准的床位100张,根据经验,当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时,床位可以全部租出,当床价高于10元时,每提高1元,将有3张床位空闲.为了获得较好的效益,该宾馆要给床位一个合适的价格,条件是:①要方便结账,床价应为1元的整数倍;②该宾馆每日的费用支出为575元,床位出租的收入必须高于支出,而且高出得越多越好.若用x表示床价,用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入).
(1)把y表示成x的函数,并求出其定义域;
(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时,既符合上面的两个条件,又能使净收入最多?
解析 (1)依题意有y=
且x∈N*,因为y>0,x∈N*,
由得6≤x≤10,x∈N*.
由得1010时,y=-3x2+130x-575,当且仅当x=-=时,y取最大值.
但x∈N*,所以当x=22时,y=-3x2+130x-575(100).
(1)若g(x)=m有实根,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
解析 (1)方法一 ∵g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞).
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有实根.
方法二 作出g(x)=x+的图像如图.
可知若使g(x)=m有实根,则只需m≥2e.
方法三 解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,故
等价于故m≥2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点.
作出g(x)=x+(x>0)的图像.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.
故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,
g(x)与f(x)有两个交点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
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