第二章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有 ( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．2个
答案 A
解析 当f(0)＝－1时，f(1)可以是0或1，则有2个映射．
当f(0)＝0时，f(1)＝1，则有1个映射．
2．函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是 ( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 由得x>－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
3．(2012·天津文)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为
( )
A．y＝cos2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0
C．y＝，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R
答案 B
解析 逐项验证即可．
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为 ( )
A．(－∞，－2]∪(0,2] B．[－2,0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,0)∪(0,2]
答案 D
解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式，根据已知条件可画出f(x)的草图如图所示．
不等式≤0?≤0?≥0?或由图可知不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．故选D.
5．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图像大致是( )
答案 C
解析 f(x)＝1＋log2x的图像可由f(x)＝log2x的图像上移1个单位得到，且过点(，0)、(1,1)，由指数函数性质可知g(x)＝21－x为减函数，且过点(0,2)，故选C.
6．函数f(x)＝x2＋|x－2|－1(x∈R)的值域是 ( )
A．[，＋∞) B．(，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 A
解析 (1)当x≥2时，f(x)＝x2＋x－3，此时对称轴为x＝－，f(x)∈[3，＋∞)．
(2)当x<2时，f(x)＝x2－x＋1，
此时对称轴为x＝，f(x)∈[，＋∞)．
综上知，f(x)的值域为[，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1对x∈(0，＋∞)的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是 ( )
A．2－20，故选B.
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 ( )
A．0 B．0或－
C．－或－ D．0或－
答案 D
解析 ∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.
又0≤x≤1时，f(x)＝x2，可画出函数y＝f(x)在一个周期内的图像如图．
显然a＝0时，y＝x与y＝x2在[0,2]内恰有两不同的公共点．
另当直线y＝x＋a与y＝x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝.
∴A(，)，又A点在y＝x＋a上，∴a＝－，∴选D.
10．奇函数f(x)、偶函数g(x)的图像分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0，g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b＝ ( )
A. 14 B. 10
C. 7 D. 3
答案 B
解析 (1)对于方程f(g(x))＝0，
令t＝g(x)，则由f(t)＝0可得t＝－1,0,1.
g(x)＝－1时，x＝±1，有2个．
g(x)＝0时，有3个解．
g(x)＝1时，x＝±2，有2个．
∴f(g(x))＝0的实根个数a＝7.
(2)对于方程g(f(x))＝0，
令t＝f(x)，由g(t)＝0，得
t1∈(－2，－1)，t2＝0，t3∈(1,2)．
f(x)＝t1，无解；f(x)＝t3，无解．
f(x)＝0,3个解，即b＝3.
∴a＋b＝10，选B.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
答案
解析 ∵f(x)＝是奇函数，利用赋值法，
∴f(－1)＝－f(1)．
∴＝－.
∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
12．已知f(x)＝，f(lga)＝，则a的值为________．
答案 10或
解析 ＝，两边取10为底的对数，得(lga－)lga＝，解得lga＝1或lga＝－，故a＝10或a＝.
13．已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则f(log5)的值等于________．
答案 1
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x＋2)＝f(x)，函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数．
因为log5∈(－2，－1)，log5＋2＝log∈(0,1)，
又f(x)为偶函数且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋，
所以当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋.
所以f(log5)＝f(log5＋2)＝f(log)＝＋＝＋＝＋＝1.
14．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为______级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍．
答案 6,10 000
解析 由lg1 000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
15．如图中的实线部分表示函数y＝f(x)的图像，它是由y＝log2x的图像经过一系列变换而得到的，虚线表示变换过程，则f(x)＝________.
答案 |log2|x－1||
16．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，且有如下零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．给出下列命题：
①若函数y＝f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上有且仅有一个零点；
②函数f(x)＝2x3－3x＋1有3个零点；
③函数y＝和y＝|log2x|的图像的交点有且只有一个；
④设函数f(x)对x∈R都满足f(3＋x)＝f(3－x)，且函数f(x)恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；
其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)
答案 ②④
解析 易知①错，②对，对于④，由对称性知也对，对于③，在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，在直线x＝1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？
通过图像很难断定，下面我们利用存在零点的条件f(a)·f(b)<0来解决这个问题，两函数图像的交点的横坐标就是函数f(x)＝－|log2x|的零点，其中f(1)＝>0，f(2)＝－<0，f(4)＝>0，所以在直线x＝1右侧，函数有两个零点，一个在(1,2)内，一个在(2,4)内，故函数f(x)＝－|log2x|共有3个零点，即函数y＝和y＝|log2x|的图像有3个交点．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＝16，求相应x的值．
答案 (1)f(x)的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．
(2)－6或6
解析 (1)当x<0时，f(x)在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增；当x>0时，f(x)在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．
综上，f(x)的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．
(2)当x<0时，f(x)＝16，即(x＋2)2＝16，解得x＝－6；
当x>0时，f(x)＝16，即(x－2)2＝16，解得x＝6.
故所求x的值为－6或6.
18．(本小题满分12分)(2012·上海改编)已知函数f(x)＝lg(x＋1)．
(1)若00，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)∵f(x)＝b·ax图像过点A(1,6)，B(3,24)，
∴又a>0且a≠1，
∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知不等式()x＋()x－m≥0即为()x＋()x－m≥0.
∴问题转化成当x∈(－∞，1]时m≤()x＋()x恒成立．
令g(x)＝()x＋()x，易知g(x)在(－∞，1]上为减函数．
∴g(x)≥g(1)＝＋＝.
∴m≤.
21．(本小题满分12分)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．
(1)把y表示成x的函数，并求出其定义域；
(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？
解析 (1)依题意有y＝
且x∈N*，因为y>0，x∈N*，
由得6≤x≤10，x∈N*.
由得1010时，y＝－3x2＋130x－575，当且仅当x＝－＝时，y取最大值．
但x∈N*，所以当x＝22时，y＝－3x2＋130x－575(100)．
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解析 (1)方法一 ∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)．
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根．
方法二 作出g(x)＝x＋的图像如图．
可知若使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e.
方法三 解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故
等价于故m≥2e.
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点．
作出g(x)＝x＋(x>0)的图像．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
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