(对应学生用书P351 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，－2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析 D f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)＞0，解得x＞2.
2.
已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 ( )
解析 D 当x＜0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x＞0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．
3．函数y＝xsin x＋cos x在(π，3π)内的单调增区间为 ( )
A. B.
C. D．(π，2π)
解析 B y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
令y′＞0，即cos x＞0.又∵π＜x＜3π，∴＜x＜.
4．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是
( )
A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2
C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2
解析 D 由题意，得y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0在R上恒成立，∴Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.
5．已知函数f(x)、g(x)均为(a，b)上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则当x∈(a，b)时有 ( )
A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＝g(x) D．大小关系不能确定
解析 A 令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＞0，∴F(x)在(a，b)上是增函数，∴F(x)＞F(a)＝0，即f(x)>g(x)．
6．若函数f(x)满足xf′(x)＞－f(x)，则下列关系一定正确的是 ( )
A．2f(1)＞f(2) B．2f(2)＞f(1)
C．f(1)＞f(2) D．f(1)＜f(2)
解析 B 令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴g(x)是增函数，∴g(2)＞g(1)，即2f(2)＞f(1)．
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．函数f(x)＝x3＋(2－a)x2－2ax＋5在区间[－1,1]上不单调，则a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝x2＋(2－a)x－2a＝(x＋2)(x－a)＝0的两根为x1＝－2，x2＝a.若f(x)在[－1,1]上不单调，则－10(x∈(0，＋∞))，从而f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)>f(0)＝0，所以ln(1＋x)>x－x2.
【答案】 >
9．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f′(x)g′(x)________0.(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)
解析 由f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，可知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)和g(x)在x∈(0，＋∞)上均为增函数，∴x<0时，f(x)为增函数，g(x)为减函数，∴f′(x)>0，g′(x)<0，∴f′(x)g′(x)<0.
【答案】 <
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)设函数f(x)＝x2＋bln(x＋1)，其中b≠0，当b＞时，判断函数f(x)在定义域上的单调性．
解析 函数f(x)＝x2＋bln(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝2x＋＝.
令g(x)＝2x2＋2x＋b，则g(x)在上递增，在上递减，g(x)min＝g＝－＋b.
当b＞时，g(x)min＝－＋b＞0，
∴g(x)＝2x2＋2x＋b＞0在(－1，＋∞)上恒成立．
∴f′(x)＞0在(－1，＋∞)上恒成立，
即当b＞时，函数f(x)在定义域(－1，＋∞)上单调递增．
11．(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(x－a)，求f(x)的单调区间．
解析 由题意知函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，f′(x)＝(x－a)＋＝.
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
当a>0时，f′(x)>0?3x－a>0，x>，f(x)在上为增函数；
f′(x)<0?00时，f(x)的递增区间为，递减区间为.
12．(16分)已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
解析 (1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a，当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
即a的取值范围为(－∞，0]．
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