第九、十讲 平面向量基本定理、向量共线及坐标运算 一、知识回顾 知识点1：平面向量基本定理：如果
，
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任
一向量
，有且只有一对实数λ1，λ2使
=λ1
+λ2

知识点2：平面向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与
轴、
轴方向相同的两个单位向量
、
作为基底.任作一个向量
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
、
，使得
，我们把
叫做向量
的（直角）坐标，记作
特别地，
，
，
知识点3：平面向量的坐标运算 （1）若
，
则

，

（2）若
，
，则
（3）若
和实数
，则
. 知识点4：向量共线的充要条件有两种形式：
∥
(
(
)

二、典型例题 例 1、（1）如图，
，
不共线，
=t
(t(R)用
，
表示
（2）设
不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且
.求证：A、B、P三点共线. 例 2、已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数
与c共线 例 3、已知
=(2，1)，
=(-3，4)，求
+
，
-
，3
+4
的坐标 例 4、已知平面上三点的坐标分别为A((2， 1)， B((1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 例 5、已知三个力
(3， 4)，
(2， (5)，

(x， y)的合力
+
+
=
，求
的坐标. 例 6、已知
，
，且
，求
． 变式训练1：
已知平面向量
，
，且
，则
等于
____. 例 7、已知
，
，
，求证:
、
、
三点共线． 变式训练2：若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为_________. 例8、设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标. 变式训练3：当
时,点P的坐标是什么？
三、课堂练习 1.下列说法正确的有（ ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标 （2）位置不同的向量其坐标可能相同 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 （4）相等的向量坐标一定相同 A．1 B．2 C．
3 D．4 2、设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 3、.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系( ) A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 4、已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= . 5、若M(3， -2) N(-5， -1) 且

，
求P点的坐标 6.已知
=(1，2)，
=
(x，1)，若
+2
与2
-
平行，则x的值为 7.若
=(2，3)，
=(4，-1+y)，且
∥
，则y= 8、若向量
=(-1，x)与
=(-x， 2)共线且方向相同，则x为________. 9、已知： A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形. 10、已知
=
+5
，
=－2
+8
，
=3（
－
），则（ ） A. A、B、D三点共线 B .A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线 四、总结提
升 1、如果
，
是同一平面内的两
个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数λ1，λ2使
=λ1
+λ2
2、两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标； 3、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标； 4、平面向量共线充要条件有两种形式：
∥
(
(
)

； 五、课后作业 1、已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则
=_______，
=_______，
=_______ 。 2、已知向量
,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则
的坐标为________。 3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ） A．
B．
C．
D．
4、已知向量
则
与
的关系是（ ） A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向 5、
已知
，
，若
与
平行，则
等于（ ）． A. 1
B. -1 C.1或-1 D.2 6、已知A（-1，5）和向量
=(2,
3)，若
=3
，则点B的坐标为__________。 7、已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若AP=AB+λAC(λ∈R) ，则λ为_______时，点P在一、三象限角平分线上. 8、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-3，0）、（-1，2）（3，1）， 求顶点D的坐标。 9、已知
，
，
，
，则以
，
为基底，求
. 10、若
=i+2j，
=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).
与
共线，则x、y的值可能分别为（ ） A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4

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