第九讲 直线的倾斜角与斜率、两直线平行与垂直的判定
一、知识回顾
知识点1:当直线与轴相交时, 轴正向与直线向上方向之间所成角叫做直线的倾斜角.
关键:①直线向上方向;②轴的正方向;③小于平角的正角.
注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
试试:请描出下列各直线的倾斜角.
反思:直线倾斜角的范围?
知识点2:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.记为.
试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值的范围为
⑴当时, 则 ; ⑵当时, 则 ;
⑶当时,则 ; ⑷当时,则 .
知识点3:已知直线上两点的直线的斜率公式: .
知识点4:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;
反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即=
知识点5:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直. 即。
二、典型例题
例1 已知直线的倾斜角,求直线的斜率:
⑴; ⑵; ⑶; ⑷
变式:已知直线的斜率,求其倾斜角.
⑴; ⑵; ⑶; ⑷不存在.
例2 求过两点的直线的斜率,并判断直线的倾斜角是锐角还是钝角?
变式:求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
⑴; ⑵.
例3 已知三点,求点D的坐标,使直线,且.
变式:已知,试判断三角形的形状.
三、练习
1. 下列叙述中不正确的是( ).
A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应; B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角;
C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或 D.若直线的倾斜角为,则其斜率为。
2. 经过两点的直线的倾斜角( ).
A. B. C. D.
3. 过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( ).
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4. 下列说法正确的是( ).
A.若,则 B.若直线、的斜率均不存在,则
C.若直线,则两直线的斜率相等 D.若两直线的斜率不相等,则两直线不平行
5. 过点和点的直线与直线的位置关系是( ).
A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对
6. 经过与的直线与斜率为的直线互相垂直,则值为( ).
A. B. C. D.
7. 已知三点在同一直线上,则的值为 .
四、总结提升
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角,直线斜角的范围是.
2.直线斜率的求法:⑴利用倾斜角的正切求;⑵利用直线上两点的坐标求;
⑶当直线的倾斜角时,直线的斜率是不存在的
3.直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系:
直线的倾斜角
直线的斜率
直线的斜率公式
定 义
取值范围
4.或的斜率都不存在且不重合.
5. ,或且的斜率不存在,或且的斜率不存在.
五、课后作业
已知点,若直线l过点且与线段相交,求直线l的斜率的取值范围.
2. 若已知直线上的点满足,直线上的点满足,
试求为何值时,⑴;⑵.
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