第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·福建)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于 ( )．
A．2 B．2 C. D．1
解析 由题意作出图象如图，由图可知圆心O到直线AB的距离d＝＝1，故|AB|＝2|BC|＝2＝2.
答案 B
2．(2012·安徽)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 ( )．
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案 C
3．(2013·潍坊模拟)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是 ( )．
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
解析 计算得圆心到直线l的距离为＝>1，得到右边草图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1，故选A.
答案 A
4．(2013·新余一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 ( )．
A．－3 B．－3 C．3 D．3
解析 易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；
圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.
∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，
∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵2≤，
∴a＋b≤3(当且仅当a＝b＝时取“＝”)，
∴a＋b的最大值为3.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·北京)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
解析 由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝.
设截得的弦长为l，则由2＋()2＝22，得l＝2.
答案 2
6．(2011·江苏)设集合A＝(x，y)(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝?，则实数m的取值范围是________．
解析 ∵A∩B≠?，∴A≠?，
∴m2≥.∴m≥或m≤0.显然B≠?.
要使A∩B≠?，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即≤|m|或≤|m|，∴≤m≤2＋.
又∵m≥或m≤0，∴≤m≤2＋.
当m＝0时，(2,0)不在0≤x＋y≤1内．
综上所述，满足条件的m的取值范围为.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
8．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
解 (1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，
设圆心C(a，b)半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1. ①
又由在y轴上截得的线段长为4，知r2＝12＋a2，
可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2， ②
由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，
当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，
由题意可知OA⊥OB，即·＝0，
∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，
化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0. ③
由得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，
∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝.
代入③式，得m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，
∴m＝4或m＝－3，经检验都满足判别式Δ>0，
∴y＝－x＋4或y＝－x－3.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·南昌模拟)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ( )．
A. B.∪
C. D.∪
解析 C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，
则－
【点此下载】