第5讲 双曲线
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是 ( )．
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由PF1的中点为(0,2)知，PF2⊥x轴，P(，4)，即＝4，b2＝4a，∴5－a2＝4a，a＝1，b＝2，∴双曲线方程为x2－＝1.
答案 B
2．(2012·湖南)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 ( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 不妨设a>0，b>0，c＝.
据题意，2c＝10，∴c＝5. ①
双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝. ②
由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.
答案 A
3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为 ( )．
A．－2 B．－ C．1 D．0
解析 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.
答案 A
4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
( )．
A．3 B．2 C. D.
解析 设双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝，e2＝，所以＝＝2.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
解析 与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ>0)，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5?λ＝，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.
答案 1 2
6．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
解析 由题意得m＞0，∴a＝，b＝.
∴c＝，由e＝＝，得＝5，
解得m＝2.
答案 2
三、解答题(共25分)
7．(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解 (1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，
则
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
8．(13分)(2012·合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
(1)解 ∵e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.
又∵双曲线过(4，－)点，∴λ＝16－10＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明 法一 由(1)知a＝b＝，c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
∴kMF1·kMF2＝＝，
又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，
∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，·＝0.
法二 ∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，
∴m2＝3，∴·＝0.
(3)解 ∵在△F1MF2中，|F1F2|＝4，且|m|＝，
∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝×4×＝6.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·北京西城模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＋＝2，则双曲线的离心率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 设双曲线的右焦点为A，则＝－，故＋＝－＝＝2，即OE＝AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝，即离心率为e＝ ＝，选C.
答案 C
2．(2012·福建)已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( )．
A. B．4 C．3 D．5
解析 易求得抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·临沂联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．
解析 由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即1，故10，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且＝2，求此直线方程．
解 (1)由题意知，在Rt△PF1F2中，
|F1F2|＝，
即2c＝＝10，所以c＝5.
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即a＝1.
所以b2＝c2－a2＝24，故双曲线的方程为x2－＝1.
(2)左焦点为F1(－5,0)，两渐近线方程为y＝±2x.
由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．
设过左焦点的直线方程为y＝k(x＋5)，则与两渐近线的交点为和.
由＝2，得
＝2或者
＝2，
解得k＝±.
故直线方程为y＝±(x＋5)．
6．(13分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解 (1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.
由题意有·＝，
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.
(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 ①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有
(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.
化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. ②
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
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