易失分点清零(十一) 解析几何(一)
1.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 ( )．
A．[－，] B．(－，)
C. D.
解析 易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，d＝≤1，得4k2≤k2＋1，k2≤，解得－≤k≤，故选C.
答案 C
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，因为ex>0，所以由均值不等式，得k≥.又k<0，所以－1≤k<0，即－1≤tan α<0.所以≤α<π.
答案 D
3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线是 ( )．
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析 点(x，y)关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，2－x－2y＋1＝0?x＋2y－3＝0.
答案 D
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ( )．
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析 根据圆自身的对称性，原圆心(－2,0)对称后的圆心(2,0)，两圆为等圆，不同处在于圆心变化了，所以对称后圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案 A
5．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，点P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是 ( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 依题意，知圆的最长弦为直径，最短弦为过点P且垂直于最长弦的弦，所以|AC|＝2×3＝6.又因为圆心到BD的距离为＝，所以|BD|＝2＝2.于是，四边形ABCD的面积为S＝×|AC|×|BD|＝×6×2＝6.
答案 D
6．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为 ( )．
A．－3或7 B．－2或8
C．0或10 D．1或11
解析 由题意，可知直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位后的直线l为2(x＋1)－y＋λ＝0.已知圆的圆心为O(－1,2)，半径为.
法一 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有＝，得λ＝－3或7.
法二 设切点为C(x，y)，则切点满足2(x＋1)－y＋λ＝0，即y＝2(x＋1)＋λ，代入圆的方程，整理得5x2＋(2＋4λ)x＋(λ2－4)＝0，(*)
由直线与圆相切可知，(*)方程只有一个解，因而有Δ＝0，得λ＝－3或7.
法三 设平移后的直线l与圆相切的切点为C(x，y)，由直线与圆相切，可知CO⊥l，因而斜率相乘得－1，即×2＝－1，又因为C(x，y)在圆上，满足方程x2＋y2＋2x－4y＝0，解得切点为(1,1)或(－3,3)，又C(x，y)在直线2(x＋1)－y＋λ＝0上，解得λ＝－3或7.
答案 A
7．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为 ( )．
A．(x－1)2＋y2＝ B．x2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析 因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
答案 C
8．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是 ( )．
A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]
解析 已知圆的圆心为(3，－5)，圆心到直线的距离为5，由数形结合，易得r的取值范围是(4,6)．
答案 A
9．(2013·兰州诊断)若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为 ( )．
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析 ∵直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2<1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B.
答案 B
10．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是 ( )．
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
解析 圆(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d＝，则弦MN的长为|MN|＝2＝2 ＝2 ≥2，解得k∈.
答案 A
11．经过点A(3,2)且在两轴上截距相等的直线方程是________．
解析 当直线过坐标原点时，直线方程为2x－3y＝0；当直线不过坐标原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a，由＋＝1，得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案 2x－3y＝0或x＋y－5＝0
12．已知l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是________．
解析 由l1∥l2知a(a－2)－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
检验当a＝3时两直线重合，舍去．故a＝－1.
答案 a＝－1
13．已知直线2xsin α＋2y－5＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________．
解析 由题意，得直线2xsin α＋2y－5＝0的斜率为k＝－sin α.
又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.
当－1≤k<0时，倾斜角的变化范围是；
当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是.
故直线的倾斜角的变化范围是∪.
答案 ∪
14．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
解析 抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，所以C(0,1)．设圆C的半径为r，点C到直线AB的距离为d，则d＝1.因为|AB|＝6，所以r2＝10.所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝10.
答案 x2＋(y－1)2＝10
15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点．
证明 由题设，知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，
设lAB：y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x，
得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，得xM＝＝，
又yM＝k(xM－1)＝，故M.
因为CD⊥AB，所以kCD＝－.
以－代k，同理，可得N(2k2＋1，－2k)．
所以直线MN的方程为
(y＋2k)＝(x－2k2－1)，
化简整理，得yk2＋(x－3)k－y＝0，该方程对任意k恒成立，故解得
故不论k为何值，直线MN恒过定点(3,0)．
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