第九章 第三节 几何概型
一、选择题
1．已知三棱锥S-ABC，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS-ABC的概率是( )
A. B.
C. D.
2．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
( )
A. B.
C. D.
3．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r0成立时的概率．
[来源:]
12．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：
所表示的平面区域内的概率．
详解答案
一、选择题
1．解析：当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－＝.
答案：A
2．解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝.
答案：C
3．解析：∵硬币的半径为r，
∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．
∴P＝＝.
答案：A
4．解析：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．
记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝.
答案：D
5．解析：设这两个实数分别为x，y，则，满足x＋y>的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为1－××＝.
答案：A
6．解析：因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为P＝＝＝.
答案：B
二、填空题
7．解析：区间[－1,2]的长度为3，满足|x|≤1的区间长度为2，∴|x|≤1的概率为.
答案：
8．解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．
∴P＝＝.
答案：π[来源: ]
9．解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝××3＝3，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为P＝＝.
答案：
三、解答题
10．解：设长方体的高为h，则图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h；由几何概型的概率公式知＝，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.
11．解：(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．
函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.
因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，[来源: ]
所以事件“a2≥4b”的概率为P＝，即函数f(x)有零点的概率为.
(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，
f(1)＝－1＋a－b>0，[来源:]
即a－b>1，此为几何概型．
所以事件“f(1)>0”的概率为P＝＝.
12．解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.
∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，
且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，
∴所求事件的概率为P(A)＝＝.
(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.
而所求事件构成的平面区域为
，
其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．
又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，
∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝.
∴所求事件的概率为P＝＝＝.
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