第九章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( )
A．24种 B．30种
C．36种 D．48种
2．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有 ( )
A．6种 B．5种
C．4种 D．3种
3．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有 ( )
A．24种 B．36种
C．42种 D．60种
4．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为 ( )
3
4
A．4 B．6
C．9 D．12
5．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为 ( )
A．25 B．26
C．36 D．37
6.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为
( )
A．180 B．240
C．360 D．420
二、填空题
7．由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是________．
8．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个．
9.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与一个正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有______种．
三、解答题
10．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的世博会宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
11．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
12．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．
(1)若n＝6，则为甲图着色的不同方法共有多少种；
(2)若为乙图着色时共有120种不同的方法，求n的值．
详解答案
一、选择题
1．解析：共有4×3×2×2＝48种着色方法．
答案：D
2．解析：若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；
若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法；
若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法，故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．
答案：C
3．解析：每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，共有43＝64种安排方案；三个项目都在同一个体育馆比赛，共有4种安排方案；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种．
答案：D
4．解析：如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.
1
2
a
3
4
b
c
d
9
答案：B
5．解析：设另两边长分别为x、y，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.
当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；……；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．
∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.
答案：C
6. 解析：本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种栽种方案，再种区域2，有4种栽种方案，接着种区域3，有3种栽种方案，种区域4时应注意：区域2与4种同色花时，区域4有1种栽种方案，此时区域5有3种栽种方案；区域2与4种不同色花时，区域4有2种栽种方案，此时区域5有2种栽种方案，故共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种栽种方案．
答案：D
二、填空题
7．解析：分两种情况：当首位为偶数时有CCCC个，当首位为奇数时有CCCC个，因此总共有：CCCC＋CCCC＝60(个)．
答案：60
8．解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步：确定谁被使用2次，有3种方法；第二步：把这2个相等的数字放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步：将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．
答案：18
9. 解析：先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱ABC－A1B1C1的三个侧面，共有C×C×C×C＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．
答案：12
三、解答题
10．解：用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．
第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第二类： 宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6
步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有
36＋36＋36＝108种．
11．解：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18种；
第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，
此时共有1×2＝2种；
所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20种选法．
12．解：(1)由分步乘法计数原理，对区域①②③④按顺序着色，共有6×5×4×4＝480种方法．
(2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．同样利用分步乘法计数原理，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.所以(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，n2－3n＋12＝0(舍去)，解得n＝5，n＝－2(舍去)．
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