第九章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故选A.
2．(2012·湖北)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
答案 A
解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x＋y－2＝0.
3．经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直线3x－2y＝0的直线l的方程是
( )
A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案 A
解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线3x－2y＝0的斜率是，∴直线l的方程是y＝(x－1)，即3x－2y－3＝0，故选A.
4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为 ( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心C(a,0)(a>0)，由＝2得，a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
5．(2012·江西)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
答案 B
解析 由等比中项的性质得到a，c的一个方程，再进一步转化为关于e的方程，解之即得所求．依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，∴e＝＝.
6．(2012·浙江)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( )
A．3 B．2
C. D.
答案 B
解析 设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.选B.
7．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于 ( )
A. B．2
C. D．2
答案 B
解析 F1(－，0)，F2(，0)，2c＝2，2a＝2.
∵·＝0，∴||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝40.
∴(＋)2＝||2＋||2＋2·＝40.
∴|＋|＝2.
8．过抛物线y＝x2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M，N，则直线MN过定点 ( )
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(－1,0)
答案 A
解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M(x1，x)，N(x2，x)，则过M、N的切线方程分别为y－x＝x1(x－x1)，y－x＝x2(x－x2)．将(0，－1)代入得x＝x＝4，∴MN的方程为y＝1，恒过(0,1)点．
9．如图，过抛物线x2＝4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2＋(y－p)2＝p2于点A、B、C、D，则·的值是 ( )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
答案 D
解析 ||＝|AF|－p＝yA，||＝|DF|－p＝yB，||·||＝yAyB＝p2.因为，的方向相同，所以·＝||·||＝yAyB＝p2.
10．已知抛物线y＝x2上有一定点A(－1,1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标取值范围是 ( )
A．(－∞，－3] B．[1，＋∞)
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 D
解析 设P(x1，x)，Q(x2，x)，
∴kAP＝＝x1－1，kPQ＝＝x2＋x1.
由题意得kPA·kPQ＝(x1－1)(x2＋x1)＝－1，
∴x2＝－x1＝＋(1－x1)－1.利用函数性质知x2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．设l1的倾斜角为α，α∈(0，)，l1绕其上一点P逆时针方向旋转α角得直线l2，l2的纵截距为－2，l2绕点P逆时针方向旋转－α角得直线l3：x＋2y－1＝0，则l1的方程为________．
答案 2x－y＋8＝0
解析 ∵l1⊥l3，
∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝＝－.
∵l2的纵截距为－2，∴l2的方程为y＝－x－2.
由∴P(－3,2)，l1过P点．
∴l1的方程为2x－y＋8＝0.
12．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．
答案 (x＋)2＋(y－)2＝
解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组
得交点A(－，)，B(－3,2)．
因为AB为直径，其中点为圆心，即为(－，)，
r＝|AB|＝，
所以圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
13．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案
解析 设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
14．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．
答案 ＋＝1
解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝.∵b2＝a2－c2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
15．已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且||·||＋·＝0，则动点P(x，y)到点A(－3,0)的距离的最小值为________．
答案 3
解析 因为M(－3,0)，N(3,0)，所以＝(6,0)，||＝6，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)．
由||·||＋·＝0，得
6＋6(x－3)＝0，化简整理得y2＝－12x.
所以点A是抛物线y2＝－12x的焦点，所以点P到A的距离的最小值就是原点到A(－3,0)的距离，所以d＝3.
16．已知以y＝±x为渐近线的双曲线D：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是________．
答案
解析 依题意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c，
所以0<≤＝.又双曲线的渐近线方程y＝±x，则＝.
因此e＝＝2，故0<≤.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(－2,0)的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点．
(1)若·＝－，求直线l的方程；
(2)若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．
解析 (1)依题意知直线l的斜率存在，
因为直线l过点M(－2,0)，
故可设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
因为P，Q两点在圆x2＋y2＝1上，所以||＝||＝1.
因为·＝－，即||·||·cos∠POQ＝－.
所以∠POQ＝120°，所以点O到直线l的距离等于.
所以＝，解得k＝±.
所以直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
(2)因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以MP＝PQ，即P为MQ的中点，所以＝2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以＝(x2＋2，y2)，＝(x1＋2，y1)．
所以即①
因为P，Q两点在圆x2＋y2＝1上，所以②
由①及②得解得
故直线l的斜率k＝kMP＝±.
18．(本题满分12分)(2012·北京文)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解析 (1)由题意得
解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
19．(本题满分12分)(2012·天津理)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.
解析 (1)设点P的坐标为(x0，y0)．
由题意，有＋＝1.①
由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.
由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)方法一
依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得
消去y0并整理得x＝.②
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得
(1＋k2)2＝4k2()2＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4.因此k2>3，所以|k|>.
方法二 依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x3，所以|k|>.
20. (本题满分12分)如图，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左，右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解析 (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，x＝或x＝－6.
∵点P位于x轴上方，∴x＝－6舍去，
只能取x＝.由于y>0，于是y＝.
∴点P的坐标是(，)．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)(－6≤m≤6)，
则M到直线AP的距离是.
于是＝6－m，解得m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝(x－)2＋15.
由于－6≤x≤6，
∴当x＝时，d取得最小值.
21．(本题满分12分)已知椭圆＋y2＝1的两个焦点是F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
(1)设E是直线y＝x＋2与椭圆的一个公共点，求|EF1|＋|EF2|取得最小值时椭圆的方程；
(2)已知点N(0，－1)，斜率为k(k≠0)的直线l与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足＝，且·＝0，求直线l在y轴上的截距的取值范围．
解析 (1)由题意，知m＋1>1，即m>0.
由得(m＋2)x2＋4(m＋1)x＋3(m＋1)＝0.
又由Δ＝16(m＋1)2－12(m＋2)(m＋1)＝4(m＋1)(m－2)≥0，
解得m≥2或m≤－1(舍去)，∴m≥2.
此时|EF1|＋|EF2|＝2≥2.
当且仅当m＝2时，|EF1|＋|EF2|取得最小值2，
此时椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋t.由方程组
消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，
∴Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)(3t2－3)>0，
即t2<1＋3k2.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，则x1＋x2＝－.
由＝，得Q为线段的AB的中点，
则xQ＝＝－，yQ＝kxQ＋t＝.
∵·＝0，∴直线AB的斜率kAB与直线QN的斜率kQN乘积为－1，即kQN·kAB＝－1，∴·k＝－1.
化简得1＋3k2＝2t，代入①式得t2<2t，
解得00，故2t＝1＋3k2>1，得t>.
综上，直线l在y轴上的截距t的取值范围是(，2)．
22．(本题满分12分)(2012·浙江文)
如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值；
(2)求△ABP面积的最大值．
解析 (1)由题意知得
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)．
由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0)．
由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.
故k·2m＝1.
所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)．
即x－2my＋2m2－m＝0.
由消去x，整理得y2－2my＋
2m2－m＝0.
所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.
从而|AB|＝·|y1－y2|＝·.
设点P到直线AB的距离为d，则d＝.
设△ABP的面积为S，则
S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.
由Δ＝4m－4m2>0，得0b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵c2＝am,2n2＝c2＋m2，又n2＝c2－m2，
∴m2＝c2，即m＝c.∴c2＝ac，则e＝＝.
6．椭圆＋＝1离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是 ( )
A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0
C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
答案 B
解析 依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为＝，所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.
7．已知圆x2＋y2＝1与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则·的取值范围为 ( )
A. B.
C．(－，0) D．[－1,0)
答案 C
解析 设P(x，y)，∴|PO|2＝|PA||PB|，
即x2＋y2＝·，
整理得2x2－2y2＝1.
∴·＝(1－x，－y)·(－1－x，－y)＝x2＋y2－1
＝2x2－.
∴P为圆内动点且满足x2－y2＝.
∴<|x|<，∴1<2x2<.
∴－<2x2－<0，选C.
8．(2012·新课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为 ( )
A. B．2
C．4 D．8
答案 C
解析 抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
9．已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．
答案 －1
解析 令AB＝2，则AC＝2.
∴椭圆中c＝1,2a＝2＋2?a＝1＋.
可得e＝＝＝－1.
10．(2012·北京理)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
答案
解析 直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
11．设椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且·＝0，坐标原点O到直线AF1的距离为|OF1|.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点P(－1,0)，交y轴于点M，若＝2，求直线l的方程．
解析 (1)由题设知F1(－，0)，F2(，0)．
由于·＝0，则有⊥，所以点A的坐标为(，±)，故所在直线方程为
y＝±(＋)．
所以坐标原点O到直线AF1的距离为(a>)．
又|OF1|＝，所以＝，
解得a＝2(a>)．
所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l斜率为k，
直线l的方程为y＝k(x＋1)，则有M(0，k)．
设Q(x1，y1)，∵＝2，
∴(x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)．
∴
又Q在椭圆C上，得＋＝1，
解得k＝±4.
故直线l的方程为y＝4(x＋1)或y＝－4(x＋1)，
即4x－y＋4＝0或4x＋y＋4＝0.
12．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点．
(1)如果点A在圆x2＋y2＝c2(c为椭圆的半焦距)上，且|F1A|＝c，求椭圆的离心率；
(2)若函数y＝＋logmx(m>0且m≠1)的图像，无论m为何值时恒过定点(b，a)，求·的取值范围．
解析 (1)∵点A在圆x2＋y2＝c2上，
∴△AF1F2为一直角三角形．
∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c，
∴|F2A|＝＝c.
由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴c＋c＝2a.∴e＝＝＝－1.
(2)∵函数y＝＋logmx的图像恒过点(1，)，由已知条件知还恒过点(b，a)，∴a＝，b＝1，c＝1.
点F1(－1,0)，F2(1,0)，
①若AB⊥x轴，则A(－1，)，B(－1，－)．
∴＝(－2，)，＝(－2，－)．
∴·＝4－＝.
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y＝k(x＋1)．
由
消去y，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2(k2－1)＝0.(*)
∵Δ＝8k2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根．
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)．
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2
＝(1＋k2)＋(k2－1)(－)＋1＋k2
＝＝－.
∵1＋2k2≥1，
∴0<≤1,0<≤.
∴－1≤·＝－<.
综上，由①②，知－1≤·≤.
13．(2013·衡水调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．
解析 (1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.
因为椭圆C的离心率为，
所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由消去y并整理得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，
则x1＋x2＝.
所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.
线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－(x－)．
在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.
当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.
所以－≤y0<0或0b>0)，且a2＝b2＋c2.
由题意可知：b＝1，＝.
解得a2＝4，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得Q(－2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝－.
由解得或
即A(－，)，B(－，－)(不妨设点A在x轴上方)，
则kAQ＝＝1，kBQ＝＝－1.
因为kAQ·kBQ＝－1，所以AQ⊥BQ.
所以∠AQB＝，即∠AQB的大小为.
②当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为y＝k(x＋)(k≠0)．
由消去y得(25＋100k2)x2＋240k2x＋144k2－100＝0.
因为点(－，0)在椭圆C的内部，显然Δ>0.
因为＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)，y1＝k(x1＋)，y2＝k(x2＋)，
所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2
＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1＋)·k(x2＋)
＝(1＋k2)x1x2＋(2＋k2)(x1＋x2)＋4＋k2
＝(1＋k2)＋(2＋k2)(－)＋4＋k2＝0.
所以⊥.所以△QAB为直角三角形．
假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则|QA|＝|QB|.
如图，取AB的中点M，连接QM，则QM⊥AB.
记点(－，0)为N.
因为xM＝＝－＝－，
所以yM＝k(xM＋)＝，
即M(，)．
所以＝(，)，＝(，)．
所以·＝×＋×＝≠0.
所以与不垂直，即与不垂直，矛盾．
所以假设不成立，故当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．
15．设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，)，求△PAB面积的最大值．
解析 (1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为
e＝＝，圆x2＋y2＝4的直径为4，则2a＝4，
得?
所求椭圆M的方程为＋＝1.
(2)直线AB的直线方程为y＝x＋m.
由得4x2＋2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－20)的左，右焦点分别为F1，F2，M，N是直线l：x＝2b上的两个动点，·＝0.
(1)若||＝||＝2，求b的值；
(2)求|MN|的最小值．
解析 设M(2b，y1)，N(b，y2)，
则＝(3b，y1)，＝(b，y2)．
由·＝0，得y1y2＝－3b2.①
(1)由||＝||＝2，得
＝2.②
＝2.③
由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得b＝.
(2)易求椭圆C的标准方程为＋＝1.
方法一 |MN|2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2≥
－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝12b2，
所以，当且仅当y1＝－y2＝b或y2＝－y1＝b，|MN|取最小值2b.
方法二 |MN|2＝(y1－y2)2＝y＋＋6b2≥12b2，
所以，当且仅当y1＝－y2＝b或y2＝－y1＝b时，|MN|取最小值2b.
17．(2013·武汉)如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点T(0，t)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．
解析 (1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝.①
因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1.②
将①代入②，得点M的轨迹C的方程为x2＋＝1.
(2)由题意知，|t|≥1.当t＝1时，切线l的方程为y＝1，点A、B的坐标分别为(－，1)、(，1)，此时|AB|＝，当t＝－1时，同理可得|AB|＝；当|t|>1时，设切线l的方程为y＝kx＋t，k∈R.
由得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由③得
x1＋x2＝－，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即t2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝＝.
因为|AB|＝＝≤2，且当t＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.
依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2＋y2＝1的半径，所以△AOB面积S＝|AB|×1≤1，当且仅当t＝±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为(0，－)或(0，)．
18．已知焦点在y轴上的椭圆C1：＋＝1经过A(1,0)点，且离心率为.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．
解析 (1)由题意可得
解得a＝2，b＝1，所以椭圆C1的方程为x2＋＝1.
(2)设P(t，t2＋h)，由y′＝2x，抛物线C2在点P处的切线的斜率为k＝y′＝2t，
所以MN的方程为y＝2tx－t2＋h.
代入椭圆方程得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，
化简得4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.
又MN与椭圆C1有两个交点，
故Δ＝16[－t4－2(h＋2)t2－h2＋4]>0.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点横坐标为x0，则x0＝＝.
设线段PA的中点横坐标为x3＝.
由已知得x0＝x3，即＝.②
显然t≠0，h＝－(t＋＋1)．③
当t>0时，t＋≥2，当且仅当t＝1时取得等号，此时h≤－3不符合①式，故舍去；
当t<0时，(－t)＋(－)≥2，当且仅当t＝－1时取得等号，此时h≥1，满足①式．综上，h的最小值为1.
19．已知△ABC中，点A、B的坐标分别为(－，0)，B(，0)，点C在x轴上方．
(1)若点C坐标为(，1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M、N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．
解析 (1)设椭圆方程为＋＝1，c＝，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)直线l的方程为y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得 3x2－4mx＋2m2－4＝0，
若Q恰在以MN为直径的圆上，
则·＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得m＝.
20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y＝x＋1的对称点在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解析 (1)?＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，V(x4，y4)．
由?3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
∴Δ＝96－8m2>0?－20)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0)，过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y＝于点M，当|FD|＝2时，∠AFD＝60°.
(1)求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1的值．
解析 (1)设A(x1，y1)，则切线AD的方程为y＝x－.
所以D(，0)，Q(0，－y1)，|FQ|＝＋y1，|FA|＝＋y1，所以|FQ|＝|FA|.
所以△AFQ为等腰三角形，
且D为AQ中点，所以DF⊥AQ.
∵|DF|＝2，∠AFD＝60°，
∴∠QFD＝60°，＝1，得p＝2，抛物线方程为x2＝4y.
(2)设B(x2，y2)(x2<0)，
则B处的切线方程为y＝x－.
由?P(，)，
?M(＋，1)．
同理N(＋，1)，所以面积S＝(＋－－)·(1－)＝.①
设AB的方程为y＝kx＋b，则b>0.
由?x2－4kx－4b＝0，
得代入①得
S＝＝，使面积最小，则k＝0，得到S＝.②
令＝t，
②得S(t)＝＝t3＋2t＋，S′(t)＝，
∴当t∈(0，)时S(t)单调递减；当t∈(，＋∞)时S(t)单调递增．
∴当t＝时，S取最小值为，此时b＝t2＝，k＝0，
∴y1＝即x1＝.
22.
如图，已知M(m，m2)、N(n，n2)是抛物线C：y＝x2上的两个不同的点，且m2＋n2＝1，m＋n≠0，直线l是线段MN的垂直平分线，设椭圆E的方程为＋＝1(a>0，a≠2)．
(1)当M、N在C上移动时，求直线l的斜率k的取值范围；
(2)已知直线l与抛物线C交于A、B两点，与椭圆E交于P、Q两点，设线段AB的中点为R，线段QP的中点为S，若·＝0，求椭圆E的离心率的取值范围．
解析 (1)由题意知，直线MN的斜率kMN＝＝m＋n.
又l⊥MN，m＋n≠0，∴直线l的斜率k＝－.
∵m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得2(m2＋n2)≥(m＋n)2，
即2≥(m＋n)2(当m＝n时，等号成立)，∴|m＋n|≤.
∵M、N是不同的两点，即m≠n，∴0<|m＋n|<.
∴|k|>，即k<－或k>.
(2)由题意易得，线段MN的中点坐标为(，)．
∵直线l是线段MN的垂直平分线，
∴直线l的方程为y－＝k(x－)．
又∵m2＋n2＝1，k＝－，
∴直线l的方程为y＝kx＋1.
将直线l的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得
x2－kx－1＝0， ①(a＋2k2)x2＋4kx＋2－2a＝0. ②
易知方程①的判别式Δ1＝k2＋4>0，
方程②的判别式Δ2＝8a(2k2＋a－1)．
由(1)易知k2>，且a>0，∴2k2＋a－1>a>0，∴Δ2>0恒成立．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则xA＋xB＝k，yA＋yB＝kxA＋1＋kxB＋1＝k(xA＋xB)＋2＝k2＋2.
∴线段AB的中点R的坐标为(，＋1)．
又xP＋xQ＝－，yP＋yQ＝kxP＋1＋kxQ＋1
＝k(xP＋xQ)＋2＝.
∴线段QP的中点S的坐标为(，)．
∴＝(，＋1)，＝(，)，由·＝0，
得＝0，即－k2＋a(＋1)＝0.
∴a＝.
∵k2>，∴a＝＝>，a＝＝2－<2.
∴
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