必修五第六讲 等比数列
一、知识回顾
新知1:
1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起, 一项与它的 一项的 等于 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 表示(q≠0),即:= (q≠0)
2. 等比数列的通项公式:
; ; ; … …
∴ 等式成立的条件
3. 等比数列中任意两项与的关系是: 。
新知2:等比中项定义
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G称为a与b的等比中项. 即G= (a,b同号). 试试:数4和6的等比中项是 .
新知3:等比数列的性质
1. 数列,,,,等,也为等比数列,公比分别为. 若数列为等比数列,则,也等比.
2. 若,则. 当m=1时,便得到等比数列的通项公式.
3. 在等比数列中,若m+n=p+q,则,。
4. 若各项为正,c>0,则是一个以为首项,为公差的等差数列.
若是以d为公差的等差数列,则是以为首项,为公比的等比数列.
当一个数列既是等差数列又是等比数列时,这个数列是非零的常数列.
二、典型例题
例1 (1) 一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项;
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
变式:一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比( ).
A. B. C. D.
小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式.
例2在等比数列{}中,已知,且,公比为整数,求.
变式1:在等比数列{}中,已知,则 .
变式2:在7和56之间插入、,使7、、、56成等比数列,若插入、,使7、、、56成等差数列,求+++的值.
三、课堂练习
1. 在为等比数列,,,则( ).
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
2. 等比数列的首项为,末项为,公比为,这个数列的项数n=( ).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知数列a,a(1-a),,…是等比数列,则实数a的取值范围是( ).
A. a≠1 B. a≠0且a≠1 C. a≠0 D. a≠0或a≠1
4. 设,,,成等比数列,公比为2,则= .
5. 在等比数列中,,则公比q= .
6. 在为等比数列中,,,那么( ).
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
7. 若-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则b2(a2-a1)=( ).
A.8 B.-8 C.±8 D.
8. 若正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列,则当x>1时,,,( )
A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列
9. 在两数1,16之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 .
10. 在各项都为正数的等比数列中, ,
则log3+ log3+…+ log3 .
四、总结提升
1.等比数列定义; 2. 等比数列的通项公式和任意两项与的关系.
3. 等比中项定义; 4. 等比数列的性质.
五、课后作业
1.在等比数列中,
⑴ ,q=-3,求; ⑵ ,,求和q;
⑶ ,,求; ⑷ ,求.
2. 在为等比数列中,,,求的值.
3. 已知等差数列的公差d≠0,且,,成等比数列,求.
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