第六篇
数 列
第1讲 数列的概念与简单表示法
A级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100等于 ( )．
A．1 B．－1 C．2 D．0
解析 法一 由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….
由此可得此数列周期为6，故a100＝－1.
法二 an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，
两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，
∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.
答案 B
2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是 ( )．
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析 ∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.
两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，
∴an＝0(n∈N*)，故选C.
答案 C
3．(2013·江西八校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝ ( )．
A．－16 B．16 C．31 D．32
解析 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，
又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．
∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.
答案 B
4．(2013·山东省实验中学测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝( )．
A．2 020×2 012 B．2 020×2 013
C．1 010×2 012 D．1 010×2 013
解析 结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
解析 易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．
答案 10或11
6．(2013·杭州调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.
解析 由an＝n(an＋1－an)，可得＝，
则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.
答案 2 n
三、解答题(共25分)
7．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求{an}的通项公式．
解 ∵an＝an－1＋(n≥2)，
∴an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3(an－1＋2)．
又a1＋2＝3，故数列{an＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．∴an＋2＝3n，
即an＝3n－2.
8．(13分)(2013·西安质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)解 由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式．
故an＝B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 013＝ ( )．
A．－1 B．－ C. D．1
解析 将x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再将x2代入xn＋1＝－1，
得x3＝1，所以数列{xn}的周期为2，故x2 013＝x1＝1.
答案 D
2．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n**0，则数列{an}为( )．
A．等差数列 B．等比数列
C．递增数列 D．递减数列
解析 由题意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，显然数列{an}
既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，
所以数列{an}为递增数列．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·合肥模拟)已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2 013＝________.
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，
∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．
故f(x)周期为4，
∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.
答案
4．(2012·铜川调研)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，
∴?2a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
6．(13分)(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数
列{bm}的前m项和Sm.
解 (1)因为{an}是一个等差数列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.
设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，
则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，
故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－
＝.
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