小题专项集训(十) 数列(二)
(时间：40分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )．
A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2
解析 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q，所以q2－2q－1＝0，解得q＝1±.又q＞0，因此有q＝1＋，故＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
答案 C
2．设{an}为各项均是正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，则 ( )．
A.＝ B.>
C.< D.≤
解析 由题意得q>0，当q＝1时，
有－＝－>0，即>；
当q≠1时，有－＝－
＝q3(1－q)·＝·>0，
所以>.综上所述，应选B.
答案 B
3．(2013·广东六校联考)在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为 ( )．
A．2 B．4 C．8 D．16
解析 ∵{an}为等差数列，∴a7＝＝4＝b7.又{bn}为等比数列，∴b6·b8＝b＝16.
答案 D
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S10>0，S11<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的取值为 ( )．
A．5 B．6 C．4 D．7
解析 由S10>0，S11<0，知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5，选A.
答案 A
5．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a6＋a10为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是 ( )．
A．S6 B．S11 C．S12 D．S13
解析 若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.由a2＋a6＋a10＝3a6为常数，则a6为常数，∴S11＝＝11a6为常数．
答案 B
6．等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项等于 ( )．
A．145 B．203 C．109 D．29
解析 因为等差数列共有奇数项，项数为2n＋1，所以S奇＝(n＋1)a中，S偶＝na中，中间项a中＝S奇－S偶＝319－290＝29.
答案 D
7．已知数列{an}的首项a1＝1，并且对任意n∈N*都有an>0.设其前n项和为Sn，若以(an，Sn)(n∈N*)为坐标的点在曲线y＝x(x＋1)上运动，则数列{an}的通项公式为 ( )．
A．an＝n2＋1 B．an＝n2
C．an＝n＋1 D．an＝n
解析 由题意，得Sn＝an(an＋1)，
∴Sn－1＝an－1(an－1＋1)(n≥2)．
作差，得an＝(a－a＋an－an－1)，
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0.
∵an>0(n∈N*)，∴an－an－1－1＝0，
即an－an－1＝1(n≥2)．
∴数列{an}为首项a1＝1，公差为1的等差数列．
∴an＝n(n∈N*)．
答案 D
8．在等差数列{an}中，若3a5＝8a12>0，Sn是等差数列{an}的前n项之和，则Sn取得最大值时，n＝ ( )．
A．12 B．14 C．16 D．18
解析 因为在等差数列中，3a5＝8a12，所以5a5＋56d＝0，又因为a5>0，所以a1>0，d<0且d＝－a1，Sn＝na1＋d＝(157n－5n2)，当n＝15.7时，Sn取得最大值，因为n∈N*，所以Sn取得最大值时n＝16.
答案 C
9．如果函数f(x)对任意a，b满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝ ( )．
A．4 016 B．1 004 C．2 008 D．2 012
解析 由f(a＋b)＝f(a)·f(b)，可得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，＝f(1)＝2，所以＋＋＋…＋＝2×1 006＝2 012.
答案 D
10．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n**0，则数列{an}为 ( )．
A．等差数列 B．等比数列
C．递增数列 D．递减数列
解析 由题意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，显然数列{an}既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{an}为递增数列．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．
解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，
即3q2－q＝0，又q≠0，∴q＝.
答案
12．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析 由an＝2n－7≤0，得n≤，即ai≤0(i＝1,2,3)，记Sn为数列{an}的前n项和，易得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2＋n－7n＝n2－6n.
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝－2S3＋S15＝－2×(－9)＋135＝153.
答案 153
13．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为________．
解析 数列的前n项和为＋＋…＋＝1－＝＝，∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9.
答案 －9
14．在数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，则an＝________.
解析 ∵3an＋1＝Sn(n≥1)，∴3an＝Sn－1(n≥2)．
两式相减，得3(an＋1－an)＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)?＝(n≥2)?n≥2时，数列{an}是以为公比，以a2为首项的等比数列，∴n≥2时，an＝a2·n－2.
令n＝1，由3an＋1＝Sn，得3a2＝a1，又a1＝1?a2＝，
∴an＝n－2(n≥2)，
故an＝
答案
15．(2013·南通模拟)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥1，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；
②{(－1)n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．
解析 ①正确，因为a－a＝p，所以a－a＝－p，于是数列{a}为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，因为a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
答案 ①②③
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