(对应学生用书P303 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．已知m>0，n>0且mn≥81，则m＋n的最小值为 ( )
A．18 B.36
C．81 D.243
解析 A ∵m>0，n>0，mn≥81，∴≥9.
∴m＋n≥2≥18.
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值为 ( )
A．18 B.6
C．2 D.2
解析 B ∵3a>0,3b>0，∴3a＋3b≥2＝2×3＝6，当且仅当a＝b，即a＝b＝1时，取“＝”，故选B.
3．(2011·上海高考)若a，b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )
A．a2＋b2>2ab B.a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
解析 D 由ab>0，可知a、b同号．当a<0，b<0时，B、C不成立；当a＝b时，由不等式的性质可知，A不成立，D成立．
4．已知00.
∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．
5．已知x<，则函数y＝4x－2＋的最大值是 ( )
A．2 B.3
C．1 D.
解析 C ∵x<，∴4x－5<0，
∴－(4x－5)－≥2＝2，当且仅当－(4x－5)＝－，即x＝1时，取“＝”，
∴－(4x－5)－的最小值为2，
∴max＝－2，
∴y＝4x－5＋＋3≤1，当且仅当x＝1时，取“＝”．
6．函数y＝(x>－1)的图象最低点坐标是 ( )
A．(1,2) B.(1，－2) C．(1,1) D.(0,2)
解析 D ∵x>－1，∴y＝＝(x＋1)＋≥2＝2，当且仅当x＋1＝时，即x＝0时，取等号，∴ymin＝2，故最低点的坐标为(0,2)．
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，则lg x·lg y的最大值是________．
解析 ∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴lg x·lg y≤2＝4，当且仅当lg x＝lg y，即x＝y＝100时，取等号，∴(lg x·lg y)max＝4.
【答案】 4
8．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
解析 ∵y＝a1－x恒过点A(1,1)，又∵A在直线上，
∴m＋n＝1.而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，取“＝”，∴＋的最小值为4.
【答案】 4
9．(2013·浙江五校联考)已知x>0，y>0，x＋y＋xy＝8，则x＋y的最小值是________．
解析 xy＝－(x＋y)＋8≤2，当且仅当x＝y＝2时，取等号，∴(x＋y)2＋4(x＋y)－32≥0，即(x＋y＋8)(x＋y－4)≥0，∵x>0，y>0，∴x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号．
【答案】 4
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
解析 ∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
11．(12分)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，求＋的最小值．
解析 由已知得·＝bccos ∠BAC＝2?bc＝4，故S△ABC＝x＋y＋＝bcsin ∠BAC＝1?x＋y＝，
而＋＝2×(x＋y)＝2≥2＝18，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．故＋的最小值是18.
12．(16分)经长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝(v>0)．
(1)在这时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若要求在该时段内车流量超过10(千辆/时)，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解析 (1)y＝＝
≤＝，
当且仅当v＝，即v＝40时，等号成立，
∴ymax＝.
故当汽车的平均速度为40千米/时时，车流量最大为千辆/时．
(2)由题意得>10，
整理得v2－89v＋1 600<0，即(v－25)(v－64)<0，
解得25
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