(对应学生用书P301 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为 ( )
A．a1·a2·a3·…·a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1·a2·a3·…·a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
解析 D 根据等差数列中“若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”，等比数列中“若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可得a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于 ( )
A. B.
C. D.不可类比
解析 C 可将扇形的弧长与三角形的底边相类比，将扇形的半径与三角形的高相类比．
3．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形：
那么下列图形中，可以分别表示A*D，A*C的是 ( )
A．①② B.②③
C．②④ D.①④
解析 C 依据条件可知：A为、B为、C为———、D为，∴A*D，A*C分别对应②，④.
4．已知x∈R＋，有不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，启发我们可以推广为x＋≥n＋1(n∈N*，a＞0)，则a的值为 ( )
A．nn B.2n
C．n2 D.2n－1
解析 A 由前面两个式子可得
5．如果f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝1，则＋＋…＋＋等于 ( )
A．1 005 B.1 007
C．2 007 D.2 010
解析 B ∵f(x＋y)＝f(x)·f(y)，∴＝f(1)＝1，∴＋＋…＋＝1 007.
6．(2013·太原模拟)如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第一行；数字2,3出现在第二行；数字6,5,4(从左到右)出现在第三行；数字7,8,9,10出现在第四行，依此类推数字2 011出现在 ( )
A．第63行，从左到右第5个数
B．第63行，从左到右第6个数
C．第63行，从左到右第7个数
D．第63行，从左到右第8个数
解析 B 从第1行到第63行共有数字＝2 016，依据蛇形模型的规律，数字2 011在第63行，从左到右第6个数．
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．(2011·山东高考)设函数f(x)＝(x>0)，
观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析 观察f2(x)，f3(x)，f4(x)的解析式特征即可归纳出一般解析式．
【答案】
8．(2013·兰州模拟)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析 棱长比与面积比→棱比与体积比面积比是棱长比的平方，体积比是棱长比的立方，可知它们的体积比为1∶8.
【答案】 1∶8
9．给出下列不等式：1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，则按此规律可猜想第n个不等式为____________．
解析 观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为1＋＋＋＋…＋>.
【答案】 1＋＋＋＋…＋>
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)如图，已知空间四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点．求证：EF∥平面BCD.
解析 因为点E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD.
又因为EF?平面BCD，BD?平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
11．(12分)若函数f(x)＝，g(x)＝，分别计算g(4)－2f(2)g(2)和g(6)－2f(3)g(3)的值，由此归纳出函数f(x)和g(x)的对于所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．
解析 g(4)－2f(2)g(2)＝0，g(6)－2f(3)g(3)＝0，
由此归纳出g(2x)－2f(x)g(x)＝0.
证明如下：
g(2x)－2f(x)g(x)＝－2··
＝－＝0.
12．(16分)已知函数f(x)＝，
(1)分别求f(2)＋f，f(3)＋f，f(4)＋f的值；
(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；
(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＋f＋f＋…＋f.
解析 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝＋＝1，
同理可得f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1.
(2)由(1)猜想f(x)＋f＝1，
证明：f(x)＋f＝＋
＝＋＝1.
(3)由(2)可，得原式＝f(1)＋＋＋…＋
＝f(1)＋2 012＝＋2 012＝.
【点此下载】